Mодератор Owen

Мегамозги Бычков и Медведев играют в игру. Медведев диктует цифры от 1 до 9, каждая может встретиться ровно один раз, а Бычков записывает их на бумагу: первую в центре листа, а каждую последующую — правее всех уже записанных или левее всех уже записанных. Цель Бычкова — получить максимально возможное число, Медведева — минимально возможное. Какие числа могут оказаться на листочке?

Дед Мороз увидел, как со склада, где хранилась партия из 1000 одинаковых подарков с конфетами, выбежали воришки с четырьмя «Шоколадными мыслителями», и понял, что воришки вскрыли 4 подарка, стащив из каждого самую вкусную конфету. Помогите ему за 2 взвешивания на чашечных весах без гирек отобрать 120 целых подарков, чтобы разложить их под мегаёлкой.

На доске выписали начало некоторой числовой последовательности, а затем стерли 7-й и 9-й элементы. Восстановите их.

2, 1, 6, 4, 101, 20, ..., 12, ...

Перед Васей написаны целые числа от 0 до 2021. Он произвольно разбивает их на пары, внутри каждой пары суммирует, а все полученные суммы перемножает. Может ли у него получиться двенадцатая степень натурального числа?

Найдите все такие пары натуральных чисел (m, n), что m²+1 делится на n, а n²+1 делится на m.

Чему равно минимально возможное суммарное пройденное белыми и черными фигурами расстояние в шахматной партии, в которой из начальной позиции белые поставили мат черным? Предполагается, что фигура всегда находится в центре клетки. Обоснование минимальности не требуется.

Муравейник представляет из себя замощенный равными правильными треугольниками большой участок плоскости. Муравьи в нем бегают на ощупь по сторонам треугольников, при этом на каждом «перекрестке» (на котором сходятся 6 треугольников) муравей может либо побежать в крайний левый поворот, либо побежать в крайний правый поворот, либо пробежать прямо. Два муравейчика, Вася и Петя, одновременно стартуют с равной скоростью по одной из дорожек (по первой дорожке бегут вместе). Может ли так случиться, что они встретятся, двигаясь в противоположных направлениях по одной и той же дорожке?

В Мозголяндии 2015 городов и довольно много дорог, соединяющих города. Так, из столицы выходит 21 дорога, из Оченьдалекозадвинутовска выходит всего одна дорога, а из всех остальных городов выходит ровно по 14 дорог. Житель Оченьдалекозадвинутовска очень хочет попасть по дорогам в столицу. Может ли он быть уверен, что у него это получится?

Минимозг-кладовщик от скуки складывал на столе узоры из недавно поступивших золотых слитков. Проходивший мимо Мегамозг с удивлением заметил, что находящиеся в тот момент на столе 9 слитков расположены единственным образом, при котором образуются десять рядов по три слитка. Заглянув в накладную Мегамозг удивился еще больше: суммарный вес любых трех слитков, входящих в один ряд, был одинаков у всех рядов, кроме одного. Он рассказал об этом совпадении Минимозгу и предложил ему найти этот особенный ряд не глядя в накладную. За какое наименьшее количество взвешиваний можно гарантированно справиться с этой задачей, если в распоряжении есть цифровые весы, позволяющие за один раз взвешивать любой набор слитков?

Петя с папой играют в морской бой. Папа расставляет 37 кораблей размером 1х1 на доску 7х7, после чего Петя стреляет сетью, которая представляет собой квадрат 2х2, навсегда убирающей с поля корабль в том случае, если он в сети оказался один. Петя выигрывает, если сумеет убрать все корабли с доски. Может ли папа так расставить корабли, чтобы Петя мог выиграть?

Можно ли построить тетраэдр, при каждой из вершин которого самое длинное ребро не меньше суммы двух других?

Будучи поклонником современного искусства вообще и кубизма в частности, некто Пыхтелкин спроектировал крышку для своего многогранного чайничка в виде выпуклого многоугольника с периметром 9 см, но промахнулся с размерами. Чтобы решить проблему, он увеличил чертеж, передвинув все стороны многоугольника во внешнюю сторону на 1 см. При этом вычисленная им площадь крышки увеличилась ровно на 12 кв.см. Не ошибся ли он?

Мегамозг в лаборатории проводит эксперимент, спуская маленький мешочек с мукой по гладкой наклонной горке высотой в 1 м, расположенной под углом α=45° к горизонту. После горки начинается горизонтальный рабочий стол Мегамозга, накрытый ковром с коэффициентом трения k=1. Ковер хорошо зафиксирован, тонок, не ворсист и лишь чуть-чуть залезает на горку. Качения и подпрыгивания нет, мешок только скользит. Какое расстояние проедет мешок по столу?

Разведывательный отряд в составе Мегамозга и 8 минимозгов, пробираясь в тыл оккупантов, дошел до развилки четырех дорог, одна из которых ведет к главному штабу. Мегамозгу нужно ее определить. Времени мало, и всё, что может сделать разведчик, — это исследовать одну дорогу, после чего вернуться к развилке и сообщить остальным, есть ли там штаб. Как стало известно Мегамозгу, двоих минимозгов оккупанты сумели перевербовать. Шпионы никак себя не проявляют, за исключением того, что иногда передают ложную информацию. Существует ли способ гарантированно найти путь к главному штабу?

В магазине поштучно продаются свечи стоимостью 50 рублей, которые полностью сгорают за 30 минут, и свечи по 20 рублей, сгорающие за 13 минут. Те и другие горят неравномерно и поджигаются только с одной стороны. Определите минимальную стоимость набора свечей, с помощью которого можно отмерить 5 минут. Доказательство минимальности не требуется.

На середине легкой лестницы, приставленной к стене, сидит маленький, но пухлый Мегамозг. По какой траектории он будет двигаться, если лестница начнет скользить по полу? Трение отсутствует.

Первый миллион натуральных чисел содержит 78498 простых. Можно ли найти миллион последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 2016 простых чисел?

Правильный шестиугольник, лежащий на идеально гладком столе, начинают тащить две стрекозы с одинаковыми, но противоположно направленными силами. Стрекозы тянут шестиугольник за соседние углы, нижняя (см. рисунок) — перпендикулярно прилегающей стороне. Вокруг какой точки начнет вращаться фигура?

Злобные оккупанты, поймав Мегамозга, вручили ему N одинаковых карточек, на каждой из которых он должен написать натуральное число. Затем оккупанты переворачивают карточки рубашкой вверх, перемешивают и бросают случайно выбранную карту пираньям. Если сумма чисел на оставшихся карточках не окажется квадратом натурального числа или среди чисел найдутся одинаковые, Мегамозг тоже отправится на корм пираньям. Как следует действовать Мегамозгу?

По правилам мегавырезания любой многоугольник разрешается разделить прямым разрезом на две произвольные части, перевернуть одну из них обратной стороной, а затем совместить части по линии разреза и склеить, не сдвигая и не накладывая друг на друга. Запрещено выполнять эти действия, если в результате образуется фигура с самопересечениями. Позволяют ли правила мегавырезания получить из квадрата правильный шестиугольник?