Mодератор Grom

В доме проживает 200 человек. Некоторые из них дружат между собой. Количество пар друзей в любой тройке жителей дома — нечетное число. Какое наименьшее возможное количество пар друзей среди жителей этого дома?

Мегамозгу необходимо разместить в кружках на схеме натуральные числа от 1 до 19 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из девяти выходящих из центра отрезков были одинаковы, при этом суммы девяти чисел в вершинах внешнего и внутреннего девятиугольников тоже были равны. Сможет ли Мегамозг это сделать?

Мегамозг решил запереть трех узников в прямом коридоре, разделенном пятью проходами на шесть комнат, причем в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усатый стражник. Каждый раз, когда узник переходит из одной комнаты в другую, стражник, стоящий в этом проходе, переходит к противоположной стене и облокачивается на нее (если одновременно идут несколько узников, стражник переходит соответствующее число раз). Если все стражники облокотятся на одну стену, она не выдержит и рухнет, а узники выйдут на свободу. Может ли Мегамозг изначально так прислонить стражников и разместить узников, чтобы они никогда не смогли выбраться?

Мегамозг выбрал три разные цифры и записал все возможные трехзначные натуральные числа, десятичная запись каждого из которых содержит все три выбранные цифры, но не может начинаться с нуля. Выяснилось, что сумма всех записанных чисел равна 3376. Найдите, какие цифры выбрал Мегамозг, и докажите, что других вариантов нет.

Какое наименьшее количество клеток квадрата 5×5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3×3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных?