Задачи, загадки, логические игры, ребусы, математика

Перед котом Леопольдом пять мышиных норок, расположенных в ряд. В одной из них спряталась мышка. Леопольд может засунуть лапу в любую из норок и попробовать поймать мышку. Мышка боится кота, поэтому после каждой его попытки обязательно перебегает в соседнюю норку справа или слева. За какое минимальное количество попыток кот сможет гарантированно поймать мышку? Доказательство минимальности не требуется.

Два минимозга нашли пещеру с сокровищами, в которой лежит миллион дублонов. Пещера заколдована: за раз из нее можно вынести количество дублонов, равное либо 1, либо натуральной степени любого простого числа, иначе умрешь на месте. Минимозги решили выносить монеты по очереди и заранее договорились, что клад достанется тому, кто возьмет последний дублон. У кого из них есть выигрышная стратегия?

I. Двое мегамозгов решили сыграть в игру: кладут на круглый стол монеты. Тот, кому некуда положить монету, проигрывает. Монеты могут соприкасаться и краями выходить за границы стола (но чтоб не падали), но не могут лежать друг на друге. Все монеты одного размера, идеально ровные и круглые. Стол тоже идеально ровный и круглый. Есть ли выигрышная стратегия для какого-либо игрока? Если нет, то докажите. Если есть, то для какого игрока и какая?

II. А если стол будет квадратный?

Два мегамозга решили поиграть в крестики-нолики по новым правилам: любой игрок может поставить в свой ход по желанию либо крестик, либо нолик. Они играют на обычном поле 3×3. Выигрывает по-прежнему тот, после хода которого образуются три крестика или нолика, стоящих в линию. Есть ли в этой игре выигрышная стратегия и у кого: начинающего или второго?

Два мегамозга играют в следующую игру. Первый задумывает целое число больше 100, а второй называет целое число больше единицы. Если названное число является делителем задуманного, второй выиграл. В противном случае первый вычитает его из задуманного, запоминает результат, и игра продолжается уже с этим числом. Первый победит, если в процессе игры у него получится отрицательное число. Повторять ранее названные числа второй мегамозг не может. Есть ли у него выигрышная стратегия?

В «Игре в пешки» игроки ходят по очереди, перемещая одну из своих пешек по шахматной доске. Ходить можно как вперед, так и назад на любое количество клеток, но нельзя ни перепрыгивать через пешку противника, ни съедать её. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при оптимальной игре в следующей позиции, если сейчас ход белых?

Два полководца (Цезарь и Брут) захватывают некую страну, представляющую собой города, некоторые из которых соединены дорогами так, что из любого города можно дойти по дорогам в любой другой. В первый ход сначала Цезарь выбирает любой город и захватывает его, потом Брут выбирает любой незахваченный город и захватывает его. Далее каждый по очереди (начиная с Цезаря) выбирает любой незахваченный никем город, соединенный с уже захваченным им городом, и захватывает его. Игра продолжается, пока не будут захвачены все города. Каждый хочет захватить как можно больше городов. Если в какой-то момент один из игроков не может захватить город, он пропускает ход. Может ли случиться, что Брут захватит городов больше, чем Цезарь?

Два игрока играют в следующую игру. На бумаге выписаны числа от 1 до 9, игроки по очереди закрывают любую из цифр фишкой своего цвета. Выигрывает тот участник, который первым закроет своими фишками три числа, сумма которых равна 15 (если игрок закрыл больше трех чисел, то он выигрывает, если сумма хотя бы одной из троек чисел равна 15). Есть ли в этой игре выигрышная стратегия? Если есть, то у какого игрока и какая?

Два мегамозга играют в игру. Каждый по очереди берет из кучи пирожков 1, 2 или 3 пирожка и съедает их. При этом он не может взять столько, сколько взял соперник предыдущим ходом. Выигрывает тот, кто съедает последний пирожок или после чьего хода соперник свой ход сделать не может. Кто из них выиграет при правильной игре, если сначала в куче было 2000 пирожков?

Двое играют в следующую игру. На столе в ряд выложено четное число карточек с числами. Игроки по очереди берут одну из карточек с любого из концов ряда. Выигравший должен набрать бОльшую сумму, иначе ничья. Кто не проигрывает в этой игре? Какова непроигрышная стратегия?

Есть полоска, разделенная на N клеток, расположенных горизонтально в ряд (N > 3). На первых трех клетках, если считать справа, стоит по фишке. Двое играют в игру, в которой каждым ходом любая фишка перемещается влево на любую свободную клетку (разрешается перепрыгивать через другие фишки). Игроки ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. У кого есть выигрышная стратегия?

Два мегамозга играют в игру. Имеется 100 деревянных стержней с длинами 1, 2, ..., 100 мегадюймов. Каждый по очереди выбирает 3 стержня, складывает из них треугольник и сжигает его. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?

Дана шоколадка, состоящая из N×M плиток (причем плиток как минимум две), плитка в левом нижнем углу ядовитая. Двое по очереди отламывают куски шоколадки и съедают их.
За каждый ход игрок выбирает одну из оставшихся плиток, отламывает и съедает ее и все плитки, расположенные не ниже и не левее выбранной. Тот, кто будет вынужден съесть ядовитую плитку, проигрывает.
Докажите, что у первого есть выигрышная стратегия.

Два мегамозга вырезали из клетчатой бумаги полоску 1×N и играют в такую игру: первый за свой ход закрашивает не более 10 клеток, а второй, в свою очередь, стирает краску не более чем с 10 идущих подряд закрашенных клеток. Первый выиграет, если закрасит всю полоску. При каких N ему это удастся?

На бесконечном листе клетчатой бумаги два Мегамозга играют в такую игру: первый по сетке рисует квадрат со сторонами 2 или 3, а второй закрашивает в этом квадрате одну клетку и так далее по очереди. Ни один из игроков не может повторять ранее сделанный ход. Второй выигрывает, если сможет сделать 15 ходов, иначе выигрывает первый. Кто победит при правильной игре обоих?

На изначально пустой доске 1х81 двое мегамозгов играют в игру.
Первый ММ каждый ход ставит белую или черную фишку на любое поле доски. Второй за ход может поменять местами любые две фишки на доске либо пропустить ход.
Если после 81 хода каждого игрока фишки на доске будут расположены симметрично, выиграет второй, в противном случае - первый.
Кто же победит?