Логические задачи. Самостоятельное решение приносит удовольствие!

Сколько существует точных квадратов, десятичная запись которых представляет собой дважды повторенную последовательность цифр?

(Например, 12381238 — дважды повторенная последовательность цифр 1238)

Дед Мороз увидел, как со склада, где хранилась партия из 1000 одинаковых подарков с конфетами, выбежали воришки с четырьмя «Шоколадными мыслителями», и понял, что воришки вскрыли 4 подарка, стащив из каждого самую вкусную конфету. Помогите ему за 2 взвешивания на чашечных весах без гирек отобрать 120 целых подарков, чтобы разложить их под мегаёлкой.

Чтобы электричество в доме заработало, Мегамозгу нужно вставить два новых предохранителя. Всего у него 20 предохранителей. Он знает, что исправны только 10 из них, но не знает, какие именно. Приведите алгоритм, который позволяет гарантированно включить в доме свет за наименьшее возможное количество попыток.

Одна попытка - это вставить два предохранителя. Если Мегамозг вставит два рабочих предохранителя - в доме появится свет, иначе - ничего не произойдет.

Можно ли в выражении $$1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot ... \cdot 100!$$ вычеркнуть один множитель так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом?

Мегамозг покупает своему коту сухой корм в упаковках по 1,4 кг. После вскрытия упаковки Мегамозг рассыпает корм по герметичным банкам, чтобы он не терял свой аромат. Кот очень привередлив и не станет есть корм, который открывался более 5 раз. Какое минимальное количество банок нужно Мегамозгу для хранения корма, если за один раз кот съедает 40 г?

Доказательство минимальности не требуется.

Разбейте прямоугольник со сторонами 49 и 100 на минимальное количество частей, из которых можно составить квадрат той же площади. Части можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Обоснование минимальности не требуется.

Двое играют на доске 10x10 клеток. Первый кладет фишки на одну или несколько подряд идущих свободных клеток по диагонали, второй - по вертикали. Игрок, после хода которого на доске не останется свободных клеток, объявляется победителем. Кто победит при оптимальной игре?

Оккупанты схватили шестнадцать мегамозгов и надели каждому на голову колпак со случайной буквой: «А» или «Б». Каждый мегамозг видит буквы на головах других, но не свою. После этого каждый может написать на своем листке бумаги «А» или «Б». Их всех отпустят, если хотя бы один напишет букву на своем колпаке и никто не напишет букву, которой нет на его колпаке. У них было время предварительно договориться. Найдите максимальную вероятность им оказаться на воле и приведите стратегию, при которой эта вероятность достигается. Доказательство максимальности не требуется.

На плоскости отметили N флажков (N > 2), причем никакие два не находятся в одной точке. За одно действие можно выбрать любые два флажка, мысленно соединить их отрезком и повернуть этот отрезок на произвольный угол вокруг своей середины. Выбранные флажки переместятся по дуге в новые места.

Можно ли расставить несколько флажков и выполнить с ними несколько указанных действий так, чтобы все флажки, кроме одного, снова заняли те же места, не обязательно в том же порядке, как на старте?

У Мегамозга есть 30 карточек, на которых написаны целые числа от 1 до 30 каждое по одному разу. Он хочет выложить часть из них по кругу так, чтобы для любых двух соседних карточек одно число делилось на другое нацело. Какое максимальное количество карточек он сможет выложить таким образом?