Логические задачи. Самостоятельное решение приносит удовольствие!

Двое школьников играют в игру. Первый выбирает целое число больше двух, с которым по очереди выполняются следующие действия: сначала второй вычитает квадрат натурального числа, затем первый возводит в натуральную степень. Второй выигрывает, если после его хода получится ноль. Может ли первый ему помешать?

Найдите все такие пары натуральных чисел (m, n), что m²+1 делится на n, а n²+1 делится на m.

Есть угловая линейка без делений, две стороны которой сходятся под углом 30 градусов. Необходимо с ее помощью разделить заданный отрезок на три равные части, построив наименьшее возможное число различных прямых линий. Доказательство минимальности не требуется.
(Примечание: прямая считается построенной, если построен любой находящийся на ней отрезок.)

В группе из 27 человек каждый либо правдивец, либо хитрец (отвечающий как ему вздумается). Каждому из них по отдельности можно задать любое количество вопросов, на которые он может ответить либо «да», либо «нет». За какое минимальное количество вопросов можно гарантированно идентифицировать хотя бы одного правдивца, если известно, что хитрецов меньше половины? Доказательство минимальности не требуется.

Чему равно минимально возможное суммарное пройденное белыми и черными фигурами расстояние в шахматной партии, в которой из начальной позиции белые поставили мат черным? Предполагается, что фигура всегда находится в центре клетки. Обоснование минимальности не требуется.

Муравейник представляет из себя замощенный равными правильными треугольниками большой участок плоскости. Муравьи в нем бегают на ощупь по сторонам треугольников, при этом на каждом «перекрестке» (на котором сходятся 6 треугольников) муравей может либо побежать в крайний левый поворот, либо побежать в крайний правый поворот, либо пробежать прямо. Два муравейчика, Вася и Петя, одновременно стартуют с равной скоростью по одной из дорожек (по первой дорожке бегут вместе). Может ли так случиться, что они встретятся, двигаясь в противоположных направлениях по одной и той же дорожке?

Оккупанты используют вместо тюрьмы подвал психбольницы, состоящий из 36 одноместных камер (6 рядов по 6 камер). Единственный вход в подвал в одной из угловых камер. В стенах между соседними камерами есть запертые двери. Мегамозга посадили в камеру, расположенную в противоположном от входа углу подвала. В остальных 35 камерах могут находиться как сумасшедшие, так и другие заключенные мегамозги.

Мегамозг смог ночью связать охранника, отобрать у него универсальный ключ от дверей и собрался бежать. При этом он хочет проверить, нет ли мегамозгов в остальных камерах. Сумасшедшие спят чутко и звереют, если их разбудить. Потому нельзя оставлять открытых дверей, а также заходить в камеру с сумасшедшим больше одного раза.

Сможет ли Мегамозг добраться до выхода, побывав по пути во всех камерах?

Двое мегамозгов играли на пляже в подкидного (не переводного) дурака и в какой-то момент игры при пустой колоде у 1-го игрока остались король (червы) и три шестерки (пики, бубны, червы), а у второго туз, дама, валет червовые и две десятки (бубны и червы). Козыри червы. Нужно определить, кто выиграет при дальнейшей оптимальной игре.

Существует ли число, которое делится на 2²⁰¹⁵, и в десятичной записи которого нет ни одного нуля?

Минимозг придумал аттракцион-лабиринт, в котором добираться от старта до финиша нужно таким образом, чтобы цвета пройденных индикаторов чередовались. Но вот беда, у Минимозга никак не получается сделать его проходимым. Минимозг пришел Мегамозгу с проектом лабиринта и просьбой внести минимальное количество изменений в цвета индикаторов, чтобы лабиринт стал проходимым. Что бы Вы предложили на месте Мегамозга?