Задачи, загадки, логические игры, ребусы, математика

Минимозг-кладовщик от скуки складывал на столе узоры из недавно поступивших золотых слитков. Проходивший мимо Мегамозг с удивлением заметил, что находящиеся в тот момент на столе 9 слитков расположены единственным образом, при котором образуются десять рядов по три слитка. Заглянув в накладную Мегамозг удивился еще больше: суммарный вес любых трех слитков, входящих в один ряд, был одинаков у всех рядов, кроме одного. Он рассказал об этом совпадении Минимозгу и предложил ему найти этот особенный ряд не глядя в накладную.
За какое наименьшее количество взвешиваний можно гарантированно справиться с этой задачей, если в распоряжении есть цифровые весы, позволяющие за один раз взвешивать любой набор слитков?

На столе лежит ряд из 100 монет. Нужно за 50 ходов сделать 50 столбиков по две монеты.
За один ход разрешается перепрыгнуть одной монетой ровно через две (не важно, лежащих рядом или друг на друге), и приземлиться на другой одиночной монете.

Найти позицию, где черные при своем ходе не могут спастись от поражения, имея короля и ферзя против короля, коня и пешки белых, причем черный король не находится под шахом.

В пробирке живут бактерии общей массой 2^n. Масса каждой бактерии - целое число. Когда встречаются две бактерии меньшая удваивает свою массу, отбирая ее у подруги. Если встретились бактерии одинаковой массы - одна из них исчезает, а вторая удваивается. Доказать, что независимо от значения n, изначального количества и масс бактерий существует последовательность превращений, в результате которой в пробирке останется всего одна бактерия.

В часах Мегамозга две шестерёнки соединены необычным образом: большая закреплена неподвижно, а малая вращается вокруг большой. У большой шестерёнки 56 зубьев, а у малой — 20, шаг зубьев одинаковый. Мегамозг запустил часы. Сколько полных оборотов вокруг своей оси сделает малая шестерёнка к моменту, когда она снова вернётся в исходное положение, при котором шестерёнки будут сцеплены теми же зубьями, что и в начале?

Петя с папой играют в морской бой. Папа расставляет 37 кораблей размером 1х1 на доску 7х7, после чего Петя стреляет сетью, которая представляет собой квадрат 2х2, навсегда убирающей с поля корабль в том случае, если он в сети оказался один. Петя выигрывает, если сумеет убрать все корабли с доски. Может ли папа так расставить корабли, чтобы Петя мог выиграть?

Подлые оккупанты снова поймали двух мегамозгов и дали им такую задачу. В комнате на столе стоят 100 бутылок в ряд, в каждой бутылке - одно число от 1 до 100, все числа разные.
В комнату заходит первый мегамозг. Он имеет право посмотреть содержимое всех бутылок и, если посчитает нужным, поменять местами любые две бутылки. После этого он уходит. Затем в комнату приглашается второй мегамозг. Ему называют произвольное число от 1 до 100, и он должен найти это число, открыв не более 50 бутылок. В лучших традициях жанра, мегамозги придумали стратегию и не были пущены на колбасу. О чём же они договорились?

Можно ли построить тетраэдр, при каждой из вершин которого самое длинное ребро не меньше суммы двух других?

В некоторой партии возникла такая позиция.

Определите, каким был первый ход черного ферзя в этой партии.

На плоскости нарисовано несколько отрезков, самый большой из которых имеет длину 1. Всегда ли, перемещая отрезки параллельным переносом, можно собрать их в одну ломаную, расстояние между концами которой меньше, чем 1,5?