Задачи, загадки, логические игры, ребусы, математика

Найти позицию, где черные при своем ходе не могут спастись от поражения, имея короля и ферзя против короля, коня и пешки белых, причем черный король не находится под шахом.

В пробирке живут бактерии общей массой 2^n. Масса каждой бактерии - целое число. Когда встречаются две бактерии меньшая удваивает свою массу, отбирая ее у подруги. Если встретились бактерии одинаковой массы - одна из них исчезает, а вторая удваивается. Доказать, что независимо от значения n, изначального количества и масс бактерий существует последовательность превращений, в результате которой в пробирке останется всего одна бактерия.

В часах Мегамозга две шестерёнки соединены необычным образом: большая закреплена неподвижно, а малая вращается вокруг большой. У большой шестерёнки 56 зубьев, а у малой — 20, шаг зубьев одинаковый. Мегамозг запустил часы. Сколько полных оборотов вокруг своей оси сделает малая шестерёнка к моменту, когда она снова вернётся в исходное положение, при котором шестерёнки будут сцеплены теми же зубьями, что и в начале?

Петя с папой играют в морской бой. Папа расставляет 37 кораблей размером 1х1 на доску 7х7, после чего Петя стреляет сетью, которая представляет собой квадрат 2х2, навсегда убирающей с поля корабль в том случае, если он в сети оказался один. Петя выигрывает, если сумеет убрать все корабли с доски. Может ли папа так расставить корабли, чтобы Петя мог выиграть?

Подлые оккупанты снова поймали двух мегамозгов и дали им такую задачу. В комнате на столе стоят 100 бутылок в ряд, в каждой бутылке - одно число от 1 до 100, все числа разные.
В комнату заходит первый мегамозг. Он имеет право посмотреть содержимое всех бутылок и, если посчитает нужным, поменять местами любые две бутылки. После этого он уходит. Затем в комнату приглашается второй мегамозг. Ему называют произвольное число от 1 до 100, и он должен найти это число, открыв не более 50 бутылок. В лучших традициях жанра, мегамозги придумали стратегию и не были пущены на колбасу. О чём же они договорились?

Можно ли построить тетраэдр, при каждой из вершин которого самое длинное ребро не меньше суммы двух других?

В некоторой партии возникла такая позиция.

Определите, каким был первый ход черного ферзя в этой партии.

На плоскости нарисовано несколько отрезков, самый большой из которых имеет длину 1. Всегда ли, перемещая отрезки параллельным переносом, можно собрать их в одну ломаную, расстояние между концами которой меньше, чем 1,5?

Несмотря на затяжной октябрьский дождь, бабушка Анюта решила устроить большую стирку. Из-за моросящего дождя выстиранное пришлось развесить на кухне. Как лучше поступить бабуле, чтобы белье и одежда высохли быстрее — приоткрыть окно или оставить закрытым?

В листе бумаги вырезали квадратное отверстие со стороной 11 мм. Можно ли сквозь него просунуть плоскую монету диаметром 20 мм?