Минимозг нарисовал на бумаге в клетку квадрат 7х7 и разбил его на фигуры двух типов: уголки из трех клеток и зигзаги из четырех. Сколько могло получиться зигзагов?

Средневековый алхимик для своих опытов купил большой запас свечей с точным временем горения 3, 7 и 16 минут. Но приступив к делу, он вдруг обнаружил, что вместо точных 3-минутных свечей ему дали обычные — с погрешностью до 30%. Алхимик решил не прерывать уже начатый опыт. За какое наименьшее время он может приготовить замену хотя бы для одной точной 3-минутной свечи? Доказательство минимальности не требуется. Свечи горят неравномерно и поджигаются только с одной стороны.

Придумайте, как раскрасить все натуральные числа в 3 цвета так, чтобы любая пара чисел, отличающихся ровно в два, три или полтора раза, была разноцветной.

Дед Мороз увидел, как со склада, где хранилась партия из 1000 одинаковых подарков с конфетами, выбежали воришки с четырьмя «Шоколадными мыслителями», и понял, что воришки вскрыли 4 подарка, стащив из каждого самую вкусную конфету. Помогите ему за 2 взвешивания на чашечных весах без гирек отобрать 120 целых подарков, чтобы разложить их под мегаёлкой.

На доску 7х7 посадили жуков двух видов, по одному в каждую клетку. Любого жука можно подружить не более чем с одним соседом того же вида по горизонтали, вертикали, диагонали. Какое максимальное количество пар друзей можно гарантированно создать при любой расстановке жуков?

На полу лежит резинка длиной в 1 м. Один конец резинки приклеен к полу, а другой конец тянут со скоростью 1 м/с. К первому концу со скоростью 1 см/с подползает муравей и, не замечая подвоха, забирается на резинку. Сможет ли муравей добраться до второго конца резинки?

1. Дан достаточно большой входной поток целых чисел, в котором все числа встречаются ровно 2 раза, кроме одного, которое входит только 1 раз. Нужно за конечное число проходов O(1) потока (массива) и используя дополнительной памяти не более O(1) найти его.
2. То же, что в первом случае, только ровно 2 числа встречаются 1 раз.

В некоторой партии возникла такая позиция. Определите, каким был первый ход черного ферзя в этой партии.

В группе из 27 человек каждый либо правдивец, либо хитрец (отвечающий как ему вздумается). Каждому из них по отдельности можно задать любое количество вопросов, на которые он может ответить либо «да», либо «нет». За какое минимальное количество вопросов можно гарантированно идентифицировать хотя бы одного правдивца, если известно, что хитрецов меньше половины? Доказательство минимальности не требуется.

По правилам мегавырезания любой многоугольник разрешается разделить прямым разрезом на две произвольные части, перевернуть одну из них обратной стороной, а затем совместить части по линии разреза и склеить, не сдвигая и не накладывая друг на друга. Запрещено выполнять эти действия, если в результате образуется фигура с самопересечениями. Позволяют ли правила мегавырезания получить из квадрата правильный шестиугольник?

Есть восемь последовательно записанных чисел, которые вы не видите. Можно попросить друга упорядочить любые два из них, указав их индексы. Например, если вы попросили упорядочить второе и пятое числа, то ваш друг во второе число поместит минимум из этих двух чисел, а в пятое — максимум (при этом не известив вас, сделаны какие-либо изменения или нет). За какое минимальное число просьб вы сможете гарантированно упорядочить все числа? Обоснование минимальности не требуется.

Шли два мегамозга, работающие малярами, навстречу — еще двое. У каждого руки испачканы своей краской, и никому не хочется пачкаться чужой. Мегамозги хотят поздороваться друг с другом (каждый из первой пары с каждым из второй и наоборот) рукопожатием, но на всех есть только две перчатки. Как им можно решить эту проблему? Перчатки не выворачиваются.

У Мегамозга нашли страшную болезнь. Доктор выписал ему всего 4 таблетки двух видов (по две каждого вида), совершенно неотличимых друг от друга, и предупредил, что, если выпить более одной таблетки одного вида — смерть, не выпить таблеток — смерть, выпить за раз меньше нормы — смерть. Таблетки надо принять за два приема: утром — 2 таблетки (по одной каждого вида) и также вечером — 2 таблетки (по одной каждого вида). К несчастью, Мегамозг смешал таблетки. Как ему гарантированно выжить?

У Мегамозга есть два кулька и 100 гаек. Нужно распределить гайки по кулькам так, чтобы в одном кульке оказалось гаек в два раза больше, чем во втором. Гайки пилить нельзя, распределены должны оказаться все гайки.

Мегамозг содержит монетный двор, на котором работают 100 рабочих. Ежедневно он выдает каждому рабочему по 1 кг золота, из которого тот должен изготовить 100 монет по 10 г. Мегамозгу стало известно, что один из его рабочих делает фальшивые монеты — на 1 г легче. Как Мегамозгу при помощи одного взвешивания на стрелочных весах гарантированно определить прощелыгу?

Мегамозг может выйти на свободу, если он справится с заданием: перед ним две двери, одна из них ведет на волю, другая — дорога к смерти. Здесь же сидят два стражника, причем один из них либо лжец, либо правдивец, а второй — хитрец, то есть человек, который говорит правду и ложь строго поочередно (либо на нечетные вопросы отвечает ложью, а на четные — правдой, либо наоборот). Оба стражника знают, какая из дорог ведет на волю, но Мегамозгу неизвестно, кто из стражников хитрец. Мегамозг имеет право задать два вопроса одному из стражников (вопросы должны быть простыми). Как ему определить дорогу, ведущую на свободу?