возьми цифры и получи число, еще одна игра в арифметику Опции

[alan]

Я тут недавно узнал, что все числа от 1 до 10000 можно записать, использовать следующие правила:

1) использовать все цифры от 1 до 9, ровно по одному разу
2) порядок цифр должен быть возрастающим
3) цифры можно объединять в числа
4) разрешено 5 базовых операций: + - * / ^
5) разрешено менять порядок операций с помощью скобочек.

Например: 10957 = (1+2)^(3+4)*5-67+89

Осилим проверить этот факт? Записывать мелкие числа скучно, поэтому начнем с 100.
Пишем по порядку, можно несколько чисел за раз.

Начну:
100 = 1-2+3*4*5+6*7+8-9
101 = 1+2+3^4+5+6+7+8-9
102 = 1*2+3^4+5+6+7-8+9
103 = 1+2+3^4+5+6+7-8+9

[alan]

Давайте считать что унарные минусы разрешены. что уж там... для симметрии...

[AV]

Давайте считать что унарные минусы разрешены. что уж там... для симметрии...

Гм...Ну, по духу задачи это не комильфо, конечно... А красота...она...это...в асимметрии. Вот.-))
Пока для себя так решил: буду стараться ими не злоупотреблять, но и варианты с ними не выбрасывать (особенно напрашивающиеся), а то потом окажется, что иначе было совсем никак, и мы не получим нобелевскую премию по арифметике.-))
С помощью лома №250 мы пока без сверхусилий получили 33+2 разложения из 40. Чтобы добраться в чуть более труднодоступные места, мы этот лом переполовиним (благо есть возможность) и получим лом №125=*(6+7*(8+9)). С его помощью можно:
1)дополнить список чисел кратных 250:
4500=36*125=(1^2+(3+4)*5)*(6+7*(8+9)),
5500=44*125=(1*2-3+45)*(6+7*(8+9)),
6500=52*125=(1+2*3+45)*(6+7*(8+9)),
7250=58*125=(-1*2+3*4*5)*(6+7*(8+9)),
7500=60*125=(1^2*3*4*5)*(6+7*(8+9)),
9500=76*125=(1^2*3^4-5)*(6+7*(8+9)),
9750=78*125=1*2*(34+5)*(6+7*(8+9));
2)получить разложения для всех оставшихся (нечетных) чисел кратных 125.
Для этого необходимо из набора {1;2;3;4;5} получить все натуральные числа до 80 включительно, что не является неразрешимой проблемой.Уподобляясь эвээме, можно юзать разложения из набора {1;2;3;4} (которые, кстати, неплохо бы было минимизировать), дополняя их через +/-/*5. В нескольких разложениях присутствуют унарные минусы:
7125=57*125=(-1-2+3*4*5)*(6+7*(8+9)),
7250=58*125=(-1*2+3*4*5)*(6+7*(8+9)),
8375=67*125=(-1+23+45)*(6+7*(8+9)), но можно надеяться, что они уйдут на след. стадиях очистки.
Думается, что нет смысла захламлять ветку списком всех разложений, поэтому ограничимся изложением идеи и примерами. Понятно, что если кого-то заинтересуют какие-то конкретные разложения, вэлкам.
В общем, у нас пока есть разложения всех 80 чисел кратных 125. На горизонте - исторический 1%.-))

[AV]

В нескольких разложениях присутствуют унарные минусы:...
но можно надеяться, что они уйдут на след. стадиях очистки.
...В общем, у нас пока есть разложения всех 80 чисел кратных 125.

Ага, Надежды юношей пытают... Первая попытка избавиться от унарных минусов "по системе", увы, успехом не увенчалась -(( (в частности, не помогла двусторонность: 125=(1+2*3*4)*5=(6+7*(8+9)) и т.д.). Но если в первых двух случаях это удалось сделать с помощью комбинаций:
7125=(1+2*3)*4^5-6*7+8-9;
7250=1+23*4*5+6789,
то в третьем случае (8375) и этого пока не получилось -((...(если, конечно, не считать варианта (1+2*3*4)*5*67*(-8+9), т.е. пару соседних чисел можно всегда превратить просто в пыль(?!)).
Поэтому правильно будет говорить, что пока у нас есть 79+1 чисел кратных 125.

Кстати, в процессе размышлений придумал одну задачку с похожим условием. Что скажут наши Корифеи Корифеевичи -)): уместно ли выложить ее условие в этой ветке? Для рекламы скажу:
1)идея, кмк, достаточно симпатичная и вполне себе в духе BG;
2)несмотря на классическую формулировку, ничего аналогичного не нагуглил;
3)решение в одну строчку (а не в 10 тыщ-)) ) .

[AV]

Возвращаясь к первоначальной задаче...
Пожалуй, можно сформулировать пару правил:
1)с помощью цифр из 2-й половины данного ряда (6-9) мы приближаемся к искомому числу, а с помощью цифр 1-4 получаем его точное значение (5 - по ситуации);
2)поскольку искомые числа - достаточно большие (отн. цифр), то ключевой операцией будет умножение (+ недостаточно эффективен, а степень недостаточно гибкая). Поэтому наше искомое множество целесообразно разбить на подмножества по принципу кратности. Этих самых подмножеств будет ни много ни мало - 1229+1 (количество простых чисел), некоторые из них будут состоять из большого количества элементов (их тоже необходимо будет представлять в виде подмножеств), но это поможет систематизировать поиски.
В качестве иллюстрации рассмотрим числа кратные 89. Для этого из набора 1-7 мы должны получить все числа от 1 до 112.
Например: 7209=81*89=(1·2+3+4+5+67)*89.
Далее рассмотрим числа кратные 72=8*9. Это можно сделать, дополнив полученный ранее список числами от 113 до 138, например:8856=123*72=(123+4-5-6+7)*8*9 или 8928=124*72=(1-2+3-4)*(5-67)*8*9 -)).
Итого сейчас у нас есть:
40 - :250
39+1 - :125
112 - : 89
136 - : 72 (136=138-2 с учетом пересечений)
_____
327+1 чисел.

P.S.Кстати, 7125 (см. ранее) можно получить проще:
7125=95*75=19*5*75=(12+3+4)*5*(6+78-9) или
7125=75*95=15*5*95=(1+2+3*4)*5*((6+7)*8-9).
Ну, или непроще:
7125=(12-3)^4+(5/6+7)*8*9
(не выбрасывать же такую милую побочку -)) ).


Сообщение было отредактировано AV: 5.5.2017, 6:01