Комбинаторика Опции

[alek.zander]

Помогите найти грабли.
Банальная задача.
Имеется 3 девочки и 9 мальчиков, сколько способов выбрать команду из 4 человек, содержащую хотя бы 1 девочку?
Решаю двумя способами, получаю один и тот же ответ.
Или смотрю на команды, где 1, 2 или 3 девочки и добиваю их мальчиками. Три слагаемых, 252, 108 и 9, сумма 369.
Или смотрю сколько всего команд и вычитаю чисто мальчишеские. 495 - 126. Разность 369.

Но тут на сцену выступает учитель математики и говорит: выберем заведомо одну девочку, это 3 способа, а остальные места добьём любыми тремя из оставшихся 11. И у него получается 495.

Я подозреваю, что он какие-то варианты посчитал дважды, но ошибку найти не могу.
Мозга клина хватил.
Поможьте, ежели не трудно.

[Sergey.Petrov.1972]

Помогите найти грабли.
Банальная задача.
Имеется 3 девочки и 9 мальчиков, сколько способов выбрать команду из 4 человек, содержащую хотя бы 1 девочку?
Решаю двумя способами, получаю один и тот же ответ.
Или смотрю на команды, где 1, 2 или 3 девочки и добиваю их мальчиками. Три слагаемых, 252, 108 и 9, сумма 369.
Или смотрю сколько всего команд и вычитаю чисто мальчишеские. 495 - 126. Разность 369.

Но тут на сцену выступает учитель математики и говорит: выберем заведомо одну девочку, это 3 способа, а остальные места добьём любыми тремя из оставшихся 11. И у него получается 495.

Я подозреваю, что он какие-то варианты посчитал дважды, но ошибку найти не могу.
Мозга клина хватил.
Поможьте, ежели не трудно.

"Поможьте" пишется "помогите", "ежели" - лучше писать "если". На выпендрёжные вопросы просто меньше хочется отвечать. А по существу вопроса: почему учитель РОВНО одну девочку добирает мальчиками, если в условии говорится про команды, содержащие ХОТЯ БЫ одну девочку.

[Нихто]

А по существу вопроса: почему учитель РОВНО одну девочку добирает мальчиками, если в условии говорится про команды, содержащие ХОТЯ БЫ одну девочку.

Ну здесь-то как раз логика верная. Потому что среди оставшихся 11 еще две девочки есть. И они могут попасть в команду.
Там другой вопрос, что для каждой девочки, которую мы выбираем первой - надо отдельно варианты считать.
Для первой девочки - добирать три из 11, для второй - три из 10 (первую девочку мы уже не учитываем, варианты с ней мы уже посчитали), для третьей - три из 9 (там уже одни мальчики останутся).

[Kurush]

Помогите найти грабли.

У учителя неверное решение. Он должен был использовать формулу включений-исключений. Посчитал по два раза команды, в которых есть по две девочки. Там такой же ответ получится.

КОМАНДЫ, В КОТОРЫХ ЕСТЬ 1 ДЕВОЧКА - КОМАНДЫ, В КОТОРЫХ ЕСТЬ ДВЕ ДЕВОЧКИ + КОМАНДЫ, В КОТОРЫХ ЕСТЬ ТРИ ДЕВОЧКИ = 3 * C(11, 3) - 3 * С(10, 2) + 9 = 369

Сообщение было отредактировано Kurush: 18.6.2023, 17:50

[impas]

грабли... сколько всего команд ... 495.
Можно спросить у учителя, а сколько всего команд может быть, и если он посчитает 495, то сам и поищет ошибку у себя, а если нет, то проблема..

[Нихто]

Да считать можно как угодно. Главное, два раза не считать одно и то же.

То есть можно посчитать варианты, где РОВНО одна девочка, где РОВНО две и где три девочки. Потом всё сложить.

А проще всего посчитать все комбинации команд (4 из 12) и вычесть чисто мальчишеские (4 из 9).

Сообщение было отредактировано Нихто: 19.6.2023, 12:59

[alek.zander]

Как надо считать, я и сам знаю. Аж два способа. Уважаемый Нихто их ещё раз переписал.
Что команд всего 495, и посему команд с девочками не может быть 495, понятно всем (кроме учителя).
Ответ в стиле этого сайта "в ваших рассуждениях имеется ошибка" я и сам могу дать.
Вопрос поставлен конкретно: вот в этих вот его рассуждениях, где именно ошибка? Какие команды посчитаны дважды, как или почему это произошло, и сколько их?

[Megatron]

Назовем девочек Маша, Алена и Кристина. Если выбрать Машу и добавлять к ней троих, мы насчитаем 165 команд. Это верно. Если выбрать Алену и добавлять троих, мы также насчитаем 165. Но вот проблема: команды, в которых есть Маша и Алена одновременно, мы посчитаем дважды.

Сколько лишних команд и почему так? На этот вопрос отвечает вывод формулы включений-исключений.

[alek.zander]

вывод формулы включений-исключений.

А поделитесь выводом, если не жалко.
А то простые способы у меня получаются, аж две штуки, а вот такой заковыристый как-то не осилить.

[Kurush]

А поделитесь выводом, если не жалко.
А то простые способы у меня получаются, аж две штуки, а вот такой заковыристый как-то не осилить.

Я же Вам написал решение через него. Нарисуйте три круга - Маша, Алёна, Кристина - таким образом, чтобы они пересекались каждый с каждым, а также имели общее пересечение. Ваш учитель взял сумму трёх кругов. При этом по два раза посчитал пересечения МА, АК, МК и три раза пересечение МАК. Поэтому мы вычитаем все пересечения из двух элементов. При этом мы избавились от повторов в командах с двумя девочками, но не учли команды с тремя девочками. Их нужно добавить. Итого: 3 * C(11, 3) - 3 * С(10, 2) + 9 = 369

[mumbaII]

учителя можно попросить тем же способом решить задачу, когда мальчиков и девочек по 2, всего 4 человека. у него получится 2 команды, хотя, очевидно, что С(4,4)=1. То есть из 4 человек можно составить только 1 команду. Если он начнет вилять, то тогда пусть найдет решение для 2 девочек, 2 мальчиков и команды по 2 человека. Его способ даст 6; хотя, очевидно, что правильный ответ будет 5.