А была уже такая задача? Опции

[alek.zander]

Имеется квадратная сетка на плоскости. Сетку взяли и как-то сдвинули и (или) повернули относительно начального положения на угол альфа (сдвиг без поворота есть сдвиг с поворотом на 0). Старыми и новыми линиями образованы какие-то фигуры (треугольники, четырёхугольники, в том числе как правильные, так и вырожденные, вплоть до точки).
Какова средняя площадь полученных фигур?

[Sergey.Petrov.1972]

После того, как Вы написали про "разные квадраты равной площади" решать и правда расхотелось. Тогда и "вырожденные" фигуры тоже разные, а от их количества зависит средняя площадь. Строго следуя Вашей логике, вообще все фигуры разные, и их бесконечное количество.

[alek.zander]

После того, как Вы написали про "разные квадраты равной площади" решать и правда расхотелось. Тогда и "вырожденные" фигуры тоже разные, а от их количества зависит средняя площадь. Строго следуя Вашей логике, вообще все фигуры разные, и их бесконечное количество.

Вы спрашивали про четыре квадрата, каждый со стороной 1/2.
Это четыре разных квадрата. И у них одинаковая площадь.
Что здесь вас смущает?
Берётся сетка, сдвигается на 1/2 по горизонтали и на 1/2 по вертикали, без поворота.
Из наложения старой и новой сетки получается мелкая сеточка с шагом 1/2.
Очевидно, что средняя площадь получившихся квадратиков есть 1/4.

Будем сдвигать непрерывно новую сетку относительно старой по горизонтали и по вертикали на равные смещения.
Очевидно, что в любой момент времени средняя площадь прямоугольников будет равна 1/4.
Просто удобно принять, что в момент, когда смещение равно 0 (или 1), картина не меняется.

С точки зрения рисунка, просто в эти моменты точки, которые суть узлы оригинальных сеток, и точки, которые суть пересечения линий старой и новой сеток, совпадают в пространстве.

Да, в общем случае все фигуры могут быть разными и их бесконечное (но счётное) количество.
Но почему это вас смущает?
Высоты, опущенные с кривой, ну, скажем, синуса, на отрезке от 0 до пи пополам тоже все разные, и их бесконечное (и даже не счётное) количество.
А среднее найти можно.

[Sergey.Petrov.1972]

Вы спрашивали про четыре квадрата, каждый со стороной 1/2.
Это четыре разных квадрата. И у них одинаковая площадь.
Что здесь вас смущает?
...

Да, в общем случае все фигуры могут быть разными и их бесконечное (но счётное) количество.
Но почему это вас смущает?
Высоты, опущенные с кривой, ну, скажем, синуса, на отрезке от 0 до пи пополам тоже все разные, и их бесконечное (и даже не счётное) количество.
А среднее найти можно.

Итак, в начальной сетке все квадраты "одинаковые", средняя площадь равна 1. Если мы сдвинем сетку вправо на единицу, то визуально ничего не изменится. А какова будет средняя площадь? Если не останется 1, то вот это и смущает. Но возможно, это смущает только меня, геометрия не мой конёк.

[alek.zander]

Итак, в начальной сетке все квадраты "одинаковые", средняя площадь равна 1. Если мы сдвинем сетку вправо на единицу, то визуально ничего не изменится. А какова будет средняя площадь? Если не останется 1, то вот это и смущает. Но возможно, это смущает только меня, геометрия не мой конёк.

А вы попробуйте решить в общем виде.
Тогда всякие крайние случаи можно будет и пообсуждать.
Вот смотрите, если сетку сдвинуть на чуть-чуть по обеим осям, не поворачивая, то средняя площадь будет 1/4, правильно? Да и если не на чуть-чуть. И она всегда будет 1/4. Кроме случаев сдвига на 1 по какой-либо оси.
Вот тут можно и договариваться. Что она будет 1 или 1/2 (если сдвиг на 1 только по одной оси), или что можно учесть вырожденные фигуры, и тогда для поворота на 0 градусов средняя площадь всегда равна 1/4.
Вопрос удобства.