Версия для печати темы

Автор: alek.zander 10.5.2023, 12:29

Имеется квадратная сетка на плоскости. Сетку взяли и как-то сдвинули и (или) повернули относительно начального положения на угол альфа (сдвиг без поворота есть сдвиг с поворотом на 0). Старыми и новыми линиями образованы какие-то фигуры (треугольники, четырёхугольники, в том числе как правильные, так и вырожденные, вплоть до точки).
Какова средняя площадь полученных фигур?

Автор: Sergey.Petrov.1972 12.5.2023, 8:16

А сдвиг тоже может быть на 0 единиц?

Автор: alek.zander 12.5.2023, 13:20

Разумеется.
Нужно просто договориться, сколько при сдвиге на 0 и повороте на 0 получается фигур. Помимо квадратов 1х1, будут ещё вырожденные прямоугольники 0х1 и 1х0 и вырожденные квадраты 0х0. То есть средняя площадь будет не 1, а несколько меньше.

Автор: RYS 12.5.2023, 15:27

Зачем такие извраты? Похоже на подгонку под ответ или под какое-то красивое решение.

Автор: alek.zander 15.5.2023, 10:20

Ну, это вопрос, скорее философский.
Из серии, можно сказать, что у некоего квадратного уравнения один корень, а можно сказать, что два, но одинаковых.

Вы попробуйте решить в общем виде, и мы обсудим, как трактовать отдельные частные случаи.

Автор: Sergey.Petrov.1972 15.5.2023, 17:38

1. А какие фигуры образует начальная сетка? Только квадраты или прямоугольники тоже? (Например, два квадрата с общей стороной А образуют три фигуры: два квадрата и прямоугольник со сторонами А и 2А).
2. Внутри "образованных фигур" могут проходить линии сеток?

Автор: alek.zander 16.5.2023, 19:08

Логично. Впрочем, как и то, что две наложенные сетки тоже образуют "составные" фигуры. Нет, такие фигуры не считаем (а то средняя площадь уйдёт за горизонт).

Тем самым, важное уточнение к условию:
считаем только "простейшие" фигуры, то есть без внутренних диагоналей или прочих маршрутов (можете предложить свой вариант определения, состоящие только из вершин и рёбер без самопересечений, или ещё как).

Автор: Sergey.Petrov.1972 19.5.2023, 17:07

Я правильно понимаю, что "средняя площадь" фигур начальной сетки равна 1/4 ? Т.е. рассматриваем все различные фигуры, их 4, а сумма их площадей 0+0+0+1 = 1. Делим сумму площадей на количество, получаем четверть. Теперь вопрос: сдвинули сетку по Х и по У на 1/2. Получили квадраты со стороной 1/2. Квадраты одинаковые. Это одна фигура или это четыре квадрата?
Другими словами, нужно дать определение средней площади, какие фигуры считать, а какие нет.

Автор: alek.zander 22.5.2023, 10:36

Неправильно.
Средняя площадь фигур начальной сетки равна 1.
В начальной сетке нет никаких фигур площади 0.
Для построения фигуры НЕЛЬЗЯ использовать дважды одно и то же ребро (или одну и ту же точку).
При наложении же сеток может так получиться, что на ребро, образованное первой сеткой, попадёт ребро, образованное второй сеткой, тогда это два разных ребра, и имеется вырожденная фигура.
При сближении точек, одной "родной" и одной, образованной за счёт пересечения линий старой и новой сетки, ребро тоже может выродиться.



Одинаковое одинаковому рознь.
Поскольку квадраты не совпадают в пространстве (на плоскости), то это разные квадраты равной площади.
В данном конкретном случае мне кажется очевидным, что средняя площадь равна 1/4.

Автор: alek.zander 19.6.2023, 13:38

Слушайте, поделитесь впечатлениями, мне казалось, что задача вполне в стиле сайта.
У неё достаточно логичное и не слишком сложное решение.
Никто не решает эту задачу, потому что она кажется "гробом"?
Начав с рассмотрения частных случаев, получаются разные ответы, и поэтому видится подвох?
Задача просто не интересная, потому что геометрическая, потому что не знаю что?

В ответе присутствует угол поворота, мне казалось, это видно из условия (ну, раз уж в условии он даже обозначен).

Автор: Owen 22.6.2023, 12:01

Ну, для начала, у модераторов сильно меньше стимулов ее решать, ведь она не имеет шанса попасть на сайт: выложена публично. Если вы хотите предложить задачу для сайта, в FAQ описана процедурка, и она начинается с ПМ активному модератору.

Плюс да, громоздкий внешний вид и впечатление, что для решения потребуется сеанс чтения мыслей задавшего задачу, не способствуют тому, чтобы тратить на нее время...

Автор: Sergey.Petrov.1972 23.6.2023, 8:44

После того, как Вы написали про "разные квадраты равной площади" решать и правда расхотелось. Тогда и "вырожденные" фигуры тоже разные, а от их количества зависит средняя площадь. Строго следуя Вашей логике, вообще все фигуры разные, и их бесконечное количество.

Автор: alek.zander 23.6.2023, 10:47

Вы спрашивали про четыре квадрата, каждый со стороной 1/2.
Это четыре разных квадрата. И у них одинаковая площадь.
Что здесь вас смущает?
Берётся сетка, сдвигается на 1/2 по горизонтали и на 1/2 по вертикали, без поворота.
Из наложения старой и новой сетки получается мелкая сеточка с шагом 1/2.
Очевидно, что средняя площадь получившихся квадратиков есть 1/4.

Будем сдвигать непрерывно новую сетку относительно старой по горизонтали и по вертикали на равные смещения.
Очевидно, что в любой момент времени средняя площадь прямоугольников будет равна 1/4.
Просто удобно принять, что в момент, когда смещение равно 0 (или 1), картина не меняется.

С точки зрения рисунка, просто в эти моменты точки, которые суть узлы оригинальных сеток, и точки, которые суть пересечения линий старой и новой сеток, совпадают в пространстве.

Да, в общем случае все фигуры могут быть разными и их бесконечное (но счётное) количество.
Но почему это вас смущает?
Высоты, опущенные с кривой, ну, скажем, синуса, на отрезке от 0 до пи пополам тоже все разные, и их бесконечное (и даже не счётное) количество.
А среднее найти можно.

Автор: Sergey.Petrov.1972 23.6.2023, 16:04

Итак, в начальной сетке все квадраты "одинаковые", средняя площадь равна 1. Если мы сдвинем сетку вправо на единицу, то визуально ничего не изменится. А какова будет средняя площадь? Если не останется 1, то вот это и смущает. Но возможно, это смущает только меня, геометрия не мой конёк.

Автор: alek.zander 26.6.2023, 13:26

А вы попробуйте решить в общем виде.
Тогда всякие крайние случаи можно будет и пообсуждать.
Вот смотрите, если сетку сдвинуть на чуть-чуть по обеим осям, не поворачивая, то средняя площадь будет 1/4, правильно? Да и если не на чуть-чуть. И она всегда будет 1/4. Кроме случаев сдвига на 1 по какой-либо оси.
Вот тут можно и договариваться. Что она будет 1 или 1/2 (если сдвиг на 1 только по одной оси), или что можно учесть вырожденные фигуры, и тогда для поворота на 0 градусов средняя площадь всегда равна 1/4.
Вопрос удобства.