Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )
Публикующим:
1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
- создав для нее отдельную тему с информативным названием;
- добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.
Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
snav |
23.11.2009, 15:09
Сообщение
#1
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.
Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег? Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи. Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд. Вопрос: где ошибка в рассуждениях? Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях. --------------------------------------------------- P.S. Рекомендую также прочитать: Уточненная формулировка парадокса Парадокс с известным распределением (сообщение #9). Предполагаемые решения парадокса: Однократная игра с неизвестным распределением Однократная игра с известным распределением Многократная игра с известным распределением Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05 |
snav |
16.4.2013, 19:12
Сообщение
#2
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Для любителей искать физический смысл матожидания обычно объясняют так: это средний результат для большого числа экспериментов. Строго говоря, это неверно. Отчасти именно благодаря этому заблуждению существует данный парадокс. )) Вопрос выгодно/невыгодно можно разрешить, только повторяя экспериминт многократно. Т.е. статистически проверить можно теоретические выкладки (на миллионе участников - обогатятся или нет, меняя по сравнению с контрольным миллионом, которые не меняют). Но эксперимент даст сравнение бесконечности с бесконечностью, если честно провести его строго с условием задачи, и предположив, что данная случайная величина и неограниченная финансами вселенная существуют. Не совсем так. Рассмотрим статистическую версию парадокса, которую рассматриваете вы (игра повторяется много раз). Пусть X и Y - количество денег в первом и втором конверте в отдельном раунде игры. Когда мы говорим о выгодности обмена, мы должны сравнивать не математические ожидания M(X) и M(Y), а фактические суммы, которые вы получите на руки при разных стратегиях поведения. Ведь согласитесь, что как игрока вас интересует не абстрактное математическое ожидание выигрыша, а реальное количество денег, которое вы унесете с собой по сумме всех игр. В каждой отдельной игре случайные величины X и Y принимают некоторые конкретные значения x и y. Эти значения являются обычными натуральными числами, т.е. в конверты каждый раз кладутся вполне определенные (конечные) суммы денег. Иногда ошибочно думают, что числа x и y могут быть бесконечно большими. Но это не так. В классической математике, которой мы пользуемся, нет понятия "бесконечно большое число", так же как нет понятия "конечное число". Числа могут быть сколь угодно большими и сколь угодно малыми, но они всегда остаются нормальными числами, с которыми можно выполнять все обычные математические операции. Бесконечными и конечными бывают множества чисел, но к парадоксу двух конвертов они не имеют отношения. Что же касается бесконечности математических ожиданий M(X) и M(Y), то это лишь формальный термин, под которым подразумевается расходимость соответствующих рядов. Таким образом, в каждой игре в конверты закладываются некоторые суммы x и y. По совокупности n игр мы получим n пар чисел: (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn). Очевидно, что если мы будем в каждой игре оставлять себе конверт X, наш суммарный выигрыш составит Sx = x1+x2+...+xn долларов. Соглашаясь на обмен, мы получим Sy = y1+y2+...+yn долларов. Здесь Sx и Sy — это суммы конечного числа слагаемых, каждое из которых является натуральным числом, поэтому с математической точки зрения нет никаких препятствий к тому, чтобы посчитать эти суммы и сравнить их между собой, узнав, выгоден был обмен или нет. Таким образом, несмотря на то, что математические ожидания M(X) и M(Y) равны бесконечности, мы вполне можем сравнивать стратегии друг с другом. Статистический парадокс утверждает, что при достаточно большом числе игр среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y будет больше среднего арифметического наблюдавшихся значений X, т.е. Sy/n > Sx/n, а следовательно, Sy > Sx. Другими словами, получается, что при использовании стратегии "всегда соглашаться на обмен" ваш фактический суммарный выигрыш должен быть больше. Заметьте, в наших расчетах нигде не фигурируют значения M(X) и M(Y), поэтому их бесконечность не могла повлиять на корректность полученного результата. Ошибка в другом. В своих рассуждениях мы неявно опираемся на свойство статистической устойчивости среднего арифметического значения случайных величин, а именно: "для большого числа независимых случайных величин среднее арифметическое наблюдавшихся значений этих случайных величин приблизительно равно среднему арифметическому их математических ожиданий". В теории вероятностей это положение носит название закона больших чисел. Однако не все случайные величины подчиняются закону больших чисел, и как раз в нашем случае это закон не выполняется (это можно доказать). Поэтому с ростом числа испытаний сумма Sy не будет стабилизироваться около суммы условных матожиданий (как это имело бы место при выполнении закона больших чисел), а будет совершать неограниченные флуктуации в большую или меньшую сторону. Поэтому неверно, что в долгосрочной перспективе стратегия "всегда брать второй конверт" является более выгодной. Руководствуясь этой стратегией, мы можем по сумме игр как выиграть, так и проиграть. Именно в этом разгадка статистической версии парадокса. Есть еще другая интерпретация парадокса - с позиции теории принятия решений при однократной игре. Там другое решение. Среднее по выборке сходится к мат. ожиданию, только если оно существует! John777, в данном случае речь идет не о сходимости к безусловному матожиданию (которого не существует), а о сходимости к среднему арифметическому условных матожиданий (они то как раз существуют). В этом смысле все четко. Мне кажется, пора установить истину практикой, ибо она критерий её... )) Истина очевидна и без эксперимента. Вопрос был в том, где ошибка в рассуждениях. Мне казалось, что все уже разобрались. P.S. Несколько раз порывался написать подробный разбор разных версий этого парадокса, но у меня нет литературных способностей, поэтому ничего путевого не выходит. В итоге забросил эту затею. |
Упрощённая версия | Сейчас: 4.5.2024, 18:36 |