ТУРНИР-2 Опции Рейтинг

[Крантец]

Правила:
1. Не пишем в теме мыслей по решению, только вопросы по условию.
2. Ответы отправляем мне в личку до 23 сентября включительно. Присылать можно задачи по отдельности. Можно многократно отвечать на ту же задачу, но при этом я учту ТОЛЬКО ПОСЛЕДНЕЕ решение. Если хотите внести изменение в предыдущее решение, то отправьте полностью исправленное решение, а не указание, что и где заменить и т.д.
3. Обсуждения не будет- это турнир. Поэтому настоятельно прошу максимально подробно и аргументированно отвечать на вопросы задач. Я оставляю за собой право задавать уточняющие вопросы по вашему решению, но исправить/изменить присланный вариант нельзя в любом случае.
4. В некоторых задачах необходима картинка. Лучше отправить графику, нежели попытаться объяснить на словах или еще как-то. Мне достаточно ссылки.
5. По многим задачам обязательно возникнут вопросы. Я не стал добавлять уточнения в некоторых условиях, чтобы не "утопить" их. Не стесняйтесь уточнять.
6. Занявший первое место будет поощрен мозгобаксами. В зависимости от ответов призы могут получить также 2-е и 3-е места. 1-е место - не менее 30- МБ.
7. Я не задавался целью дать максимально сложные задания, некоторые достаточно просты.
8. Модераторы принимают участие на общих основаниях, только призы (в случае победы, естественно) для них предусмотрены другие.
Условия:

1. Планета мегамозгов в опасности: к планете летят космические корабли оккупантов. К счастью у мегамозгов есть лазерные пушки, способные спасти планету. Необходимо разместить эти пушки на поверхности планеты радиуса r таким образом, чтобы любой корабль, приблизившийся на расстояние 2r от поверхности, оказался под прицелом хотя бы n пушек. Дальность стрельбы пушек неограниченна. Какое минимальное количество пушек понадобится для защиты планеты, если:
а) n=2
б) n=3

2. Имеется круглый разъем с n контактами. Все контакты расположены по периметру через равные промежутки. Есть гнездо, имеющее n отверстий, в которое вставляется данный разъем. Можно ли выбрать такую нумерацию от 1 до n и контактов и отверстий, чтобы при любых поворотах хотя бы один контакт оказывался в отверстии, имеющем тот же номер?

3. Обе стороны листа бумаги площадью 1 поделены на n непересекающихся областей каждая. С одной стороны все области пронумеровали от 1 до n. Доказать, что можно пронумеровать области с другой стороны таким образом, что общая площадь кусочков с одинаковыми номерами будет не меньше 1/n.

4. Какую минимальную длину должно иметь веревочное кольцо, чтобы в него можно было продеть тетраэдр с единичным ребром, а кольцо все время оставалось в одной плоскости? (Форма кольца при этом может изменяться)

5. Город Н-ск имеет форму круга радиуса 10 км. В городе круглосуточно включены фонари, питающиеся от аккумуляторов. Полностью заряженный аккумулятор позволяет фонарю освещать круг радиуса 200 м. За каждый час работы радиус освещенного круга линейно уменьшается на 10 м. Время от времени аккумуляторы заменяют. Однажды за одни сутки было полностью разряжено 18000 аккумуляторов. Могло ли так случиться, что в эти сутки ни одна точка города не освещалась более чем одним фонарем?

6. Существуют ли такие четыре одинаковых многоугольника, которые удовлетворяют двум условиям:
а) добавив к ним один квадратик, можно сложить большой квадрат
б) из трех таких многоугольников можно сложить равносторонний треугольник ?

7. В Чемпионате по футболу участвовало 55 команд. Матчи «на вылет» шли последовательно. У соперников в любом матче количество побед либо равно, либо отличается на 1. Какое максимальное число матчей мог провести чемпион ?

8. В урне находятся черные и белые шары. Вероятность, что из двух вытащенных шаров, оба окажутся черными, равна ½.
а) Найдите минимальное возможное количество шаров в урне
б) Найдите минимальное возможное количество шаров в урне, если известно, что белых- четное число

9. У мегамозга есть необычные весы: у них 3 чаши, расположенные на плечах, составляющих по 120 градусов между собой и лежащих в одной плоскости. Если положить на все чаши по m монет, то станет понятно, на какой из чаш вес, равный весу m настоящих монет, на какой чаше больший вес и на какой меньший (если они есть, конечно). Имеется m монет, среди них две фальшивых, отличающихся по весу от настоящих на +х и –х соответственно. Для какого максимального числа монет m можно найти фальшивые монеты за n взвешиваний на этих весах, если:
а) n=2 б) n=3 в) n=5 ?

10. Можно ли на плоскости в декартовой системе координат расположить правильный шестиугольник так, чтобы все его вершины лежали в точках с целочисленными координатами?

Успехов!

Сообщение было отредактировано Крантец: 3.9.2012, 18:00