У всех девушек одинаковый рейтинг, математическая индукция Опции Рейтинг

[snav]

Эта головоломка была предложена венгерским математиком Джорджем Пойа. Головоломка очень известная, встречается в разных вариациях, и многие наверняка о ней слышали.

Итак, знаете ли вы, что такое метод математической индукции? Давайте проверим.
С помощью этого метода можно обосновать один презабавный эксперимент. Выберем среди пользователей нашего сайта наугад N девушек (N — любое натуральное число). Выбираем совершенно произвольно, но только девушек! Теперь сравним их рейтинги. Как это ни удивительно, но у всех выбранных девушек рейтинг окажется одинаковым! Сколько бы раз мы ни повторяли этот эксперимент и какое бы число N ни выбирали, результат неизменно будет один: у всех N девушек будет один и тот же рейтинг.

Каждый может на досуге проверить сказанное экспериментально, а пока докажем этот замечательный факт по индукции.

1. Для одной девушки (N=1) наше утверждение, очевидно, справедливо.

2. Докажем теперь, что если утверждение верно при N=k, то оно верно и при N=k+1.

Возьмем k+1 девушку. Одну девушку (назовем ее A) на минутку исключим из нашего списка. У нас останется k девушек. У них (по предположению индукции) одинаковый рейтинг (некоторое число X). Итак, у всех девушек — кроме, быть может, A — рейтинг равен X.

Заменим теперь одну из k девушек в нашем списке девушкой А. В списке по-прежнему k девушек, значит, по предположению индукции, у них у всех один и тот же рейтинг (который мы выше обозначили через X). В том числе рейтинг X имеет и девушка А, которую мы вначале исключили, а теперь вернули в список. Итак, рейтинг девушки А тоже равен X. Значит, рейтинг всех N девушек (N=k+1) равен числу X, что и требовалось доказать.

3. Таким образом, наше утверждение верно при N=1, а из предположения, что оно верно при N=k следует, что оно верно и при N=k+1. Следовательно, по принципу математической индукции утверждение верно при любом N. И как ни поразителен наш эксперимент, он теперь обязан всегда получаться — это строго доказано!

(Использованы материалы журнала «Квант»)

[Механист]

Старо и мутно.

[JK]

Старо и мутно.

До падения сайта (кажется) был разговор из которого стало ясно, что все как-то по-разному понимают суть принципа и метода матиндукции.
Я и сейчас считаю, что текст выше - софизм (ну, или шутка), но никак не головоломка.