Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[Breghnev]

Возможно, вы пытаетесь смешивать два принципиально разных парадокса: статистический парадокс (многократные испытания) и парадокс принятия решения (однократное испытание). Это разные задачи с разным решением. Статистический парадокс действительно имеет решение в рамках теории вероятностей. Я рассматривал его ранее.

Допустим, "статистический парадокс" решен. В чем его отличие от парадокса принятия решения? Разве в случае однократного испытания игрок не руководствуется тем же самым критерием максимизации среднего выигрыша?

Вот вы пишете "выгодно поменять всегда". Это неверно. Критерием выгодности является фактическое получение большей суммы денег. Если в конверте Y находится больше денег — менять выгодно, если меньше — то менять невыгодно. Однако при однократной игре сделать априорное заключение о выгодности обмена невозможно, так как мы не знаем, где больше денег. По этой причине ТПР говорит не о выгодности обмена, а лишь о его предпочтительности с точки зрения некоего критерия рациональности. Выгода и предпочтительность — не одно и то же. Выгода означает гарантированное получение выигрыша, а предпочтительный вариант может привести как к выигрышу, так и к проигрышу.

Разумеется, говоря "выгодно поменять всегда" я имел ввиду именно предпочтительность с точки зрения матожидания выигрыша. Пожалуй, я соглашусь с вами, что использование слова "выгодно" мной здесь не совсем корректно. Но это лишь вопрос терминологии.

Далее, вы говорите "в среднем мы получим больше". Это высказывание из области статистики. Но у нас только одно испытание, и в среднем мы получим ровно столько, сколько по факту лежит во втором конверте. А это значение нам не известно.

Тогда как в анекдоте: либо выгодно менять, либо нет. 50/50. Так получается?

Здесь вы незаметно перешли от условного матожидания к безусловному, но продолжаете говорить так, словно речь идет об одном и том же.

Не вижу причины, по которой я не мог сделать этого.

Да, при конечном матожидании парадокс исчезает, и что? Где решение парадокса при бесконечном матожидании?

Парадокс в том, что матожидание получаемой величины равно бесконечности (а что такое бесконечность?), а сумма в конверте всегда равна конечному числу (а с какой стати? вы уверены в этом?).