Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[Breghnev]

Существуют также варианты парадокса с конечным математическим ожиданием, но там используется другой критерий принятия решения. То есть в общем случае, парадокс двух конвертов не связан с бесконечностью матожиданий, как иногда ошибочно считают.

Кстати, можно подробнее про варианты парадокса с конечным матожиданием? Я так понимаю, речь идёт о критериях выбора типа максимина?
Если честно, мне не кажется очевидным вывод, что в общем случае парадокс не связан с бесконечным матожиданием. Пока не вижу, что здесь уместно говорить об общем случае.
Что же касается классической задачи, то, на мой взгляд, очевидно, что парадокс заключен именно в бесконечности матожиданий. Это косвенно подтверждается и тем, что все варианты задачи с конечным матожиданием (где критерием выбора, по-прежнему, является максимизация матожидания), которые были рассмотрены, не содержат парадокса. Я бы сказал, что задача парадоксальна ровно настолько, насколько парадоксально само понятие бесконечности.

Сообщение было отредактировано Breghnev: 21.8.2015, 16:37