Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[snav]

0, это не совсем так. В ситуации, когда точные значения вероятностей неизвестны, теория принятия решений разрешает заменять неизвестные вероятности их субъективным оценками. Под субъективными вероятностями понимают меру внутренней уверенности лица, принимающего решение, в наступлении того или иного события. При этом на практике часто пользуются эвристическим правилом Лапласа, которое гласит, что в условиях полной неопределенности события можно считать равновероятными.

Если наши субъективные вероятности будут сильно отличаться от статистических вероятностей, это приведет лишь к тому, что наши теоретические выводы не совпадут с эмпирическими данными, однако даже в этом случае мы не должны приходить к противоречию в самих наших теоретических выводах. Между тем, в парадоксе мы как раз приходим к противоречию.

Так вот, наша первая ошибка состоит в том, что в своих рассуждениях мы незаметно вышли за пределы аксиоматики теории вероятностей. Если бы мы ограничились предположением, что при некоторой конкретной сумме в первом конверте вероятности большей и меньшей суммы во втором конверте равны, в этом не было бы ничего противоречивого. Но мы предположили большее: мы предположили, что указанные вероятности равны при всех значениях сумм в первом конверте, а это уже невозможно ни при каком законе распределения. Другими словами, первая ошибка состоит в том, что не существует закона распределения, который бы удовлетворял нашему предположению.