Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[Breghnev]

Получается, если критерием выбора является матожидание, то парадокс существует только при условии бесконечного матожидания для закрытых конвертов? И классический случай, и пример из сообщения #9 именно такую ситуацию описывают, верно?
С равнозначностью начального выбора вроде бы всё ясно, в обоих конвертах бесконечность, да и вообще они неразличимы между собой. После вскрытия конверта выгодность обмена тоже кажется очевидной, потому что отсутствует пара конвертов, один из которых содержит максимально возможную сумму: тот, который менять невыгодно, ведь именно его обмен по стратегии "всегда менять" компенсирует все дополнительные выигрыши для всех других пар конвертов.
Проблема заключается в том, каким образом выбрать из бесконечного набора пар конвертов.
а) С одной стороны, мы, похоже, задали корректную математическую модель (сообщение #9), которая описывает бесконечное количество пар конвертов, в которых может находиться любая (бесконечно большая) сумма денег.
б) С другой стороны, мы утверждаем, что в любой выбранной паре конвертов содержится конечная сумма денег.
С обывательской точки зрения выглядит противоречиво. Как выразился один из участников форума, в конверт хотя бы иногда должны класть бесконечное количество денег, что бы это ни значило Я, как обыватель и неспециалист в математике, не буду утверждать, что здесь есть ошибка, просто делюсь наблюдениями. Мне интересно, для математиков в порядке вещей совмещение "а" и "б"? Как выбрать конкретный элемент из бесконечного набора элементов? Как можно подбросить n-гранный кубик при n стремящемся к бесконечности?