Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[Breghnev]

Не даёт мне покоя эта тема. В исследованиях бесконечностей я, признаться, слабоват. Поэтому хочу разобраться хотя бы с конечным вариантом задачи. Скажите, можно ли поставить её следующим образом?

Существует некоторое конечное количество пар конвертов таких, что в одном из конвертов пары сумма ровно в два раза больше, чем в другом. При этом в первой паре конвертов (с наименьшими суммами) лежат 1 и 2 рубля, во второй - 2 и 4 рубля, в третьей - 4 и 8 рублей и т.д. Вам неизвестно, какие суммы могут лежать в конвертах (известно только первое условие про соотношение сумм в конвертах).
Случайным образом выбирается пара конвертов (с равной вероятностью для каждого), после чего вам позволено выбрать и открыть один из двух конвертов на выбор и пересчитать в нём деньги. После этого вы должны решить: взять себе этот конверт или обменять его на второй (без возможности повторного обмена). Что делать: менять конверт или нет?

Корректна ли постановка задачи? Сходна ли она с классической? Есть ли место парадоксу в такой формулировке?
У меня есть твёрдое мнение на этот счёт, но я бы хотел сначала услышать что-то от вас.

Сообщение было отредактировано Breghnev: 13.8.2015, 21:37