жесткие многогранники Опции

[СарыАзман]

Рассматриваются выпуклые многогранники, сделанные из шарнирно соединенных стержней. Как у них с жесткостю? Куб не жесткий, его можно деформировать в параллелепипед. С другой стороны, можно доказать, что если все грани треугольные, то многогранник жесткий. Вопрос: а есть ли другие жесткие многогранники? Какие?

[Ленивый]

Я тут начертал доказательство что не существует таких.

V - количество вершин
E - количество стержней
F - количество граней

1. У каждой вершины есть 3 степени свободы
2. Каждый стержень убирает не более однй степени свободы
3. У жесткого тела есть 6 степеней свободы

То есть, для жесткого тела должно выполнятся
3V - E <= 6

Мы также помним что для любого выпуклого многогранника всегда выполняется
F + V - E = 2

Из этих выражений следует что для жесткого выпуклого многогранника должно выполнятся
3F >= 2E

С другой стороны:
В многограннике каждый стержень соединяет две грани, а у каждой грани как минимум 3 стержня,
отсюда следует что 2E/F >= 3 (то есть среднее количество сторон у граней оно не менее трех - что и так понятно)

Из последних двух неравенств следует что у жесткого выпуклого многогранника 2E = 3F,
то есть все грани треугольные

Надеюсь что ошибок нет

Сообщение было отредактировано Ленивый: 22.8.2014, 14:02

[0]

2. Каждый стержень убирает не более однй степени свободы

Как в этом убедиться?
Если точка А находится на сфере это 2 степени свободы, так?
Точка В находится на другой сфере это еще 2 степени свободы, так? Всего 4.
Если взять АВ равном сумме радиусов сфер и расстояния между их центрами то уберем все 4.