Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[4i3]

Для любителей искать физический смысл матожидания обычно объясняют так: это средний результат для большого числа экспериментов. Для кубика 3,5 соответствует тому, что сумма очков при большом количестве бросаний будет примерно такой же, как если бы на всех гранях было 3,5.

В обновленном варианте (сообщение #9) устранено несуществующее равномерное распределение на бесконечном промежутке, но осталась "несуществующая" (абстактно-математическая) случайная величина с бесконечным матожиданием. Т.е. при большом количестве экспериментов (не важно, в параллельных вселенных или повторенных последовательно бесконечно богатыми организаторами) в среднем в первом конверте будет бесконечно баксов. Поэтому бессмысленно менять эту бесконечность на пол-бесконечности или бесконечность*2.

"Обнаружив в первом конверте совершенно конкретную конечную сумму..." СТОП! если существует этот самый бесконечно щедрый орг, то в первом конверте вы должны регулярно (ну хотя бы иногда) обнаруживать бесконечную суму, иначе вас дурят .

Расходимость в новом условии обеспечивается более быстрм ростом экспоненты 10^n по сранению с убыванием вероятности (1/2)^n. Вероятность обнаружить бесконечную сумму бесконечно мала, но при этом матожидание бесконечно (=ожидаем в среднем накопить бесконечность при повторении опытов).

В этом мне видится противоречие в условии (даже обновленном). Так же как не имеет смысла "бесконечно-равномерное распределение", не имеет право на существования случайная величина с бесконечным МО (согласен с alan'ом по поводу пересмотреть акиоматику)

Вопрос выгодно/невыгодно можно разрешить, только повторяя экспериминт многократно. Т.е. статистически проверить можно теоретические выкладки (на миллионе участников - обоготятся или нет, меняя по сравнению с контрольным миллионом, которые не меняют). Но эксперимент даст сравнение бесконечности с бесконечностью, если честно провести его строго с условием задачи, и предположив, что данная случайная величина и неограниченная финансами всепленная существуют.

ИМХО: парадокс отсутствует, поскольку:
- или не существует такой случайной величины (если постулировать это)
- или, если все же существует, в первом конверте (иногда) бесконечность, поэтому сравнивать со вторым с точки зрения выгоды бессмысленно.