Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[snav]

Ошибка вот в этом самом "...то в другом конверте с равной вероятностью...". Нет, не с равной вероятностью.

Да, это первая ошибка. Но есть и другая. И эта другая ошибка приводит нас к усиленному варианту парадокса в сообщении #9.

По поводу сообщения № 9, на которое ссылается snav как на более продвинутый вариант условия. Условие неверное. Если наборы сумм (1,10), (10,100), (100,1000)... бесконечны, то имеем проблему конечности общей денежной массы...

semiSvetik, это не финансовая задача из реальной жизни, а логико-математический парадокс. Постарайтесь абстрагироваться от второстепенных деталей и взглянуть на проблему с чисто математической точки зрения. Процитирую Чалмерса: "Некоторое затруднение, не существенное для парадокса, но отвлекающее внимание, происходит из-за того факта, что в реальном мире деньги существуют в дискретных количествах (доллары и центы, фунты и пенсы) и что известны пределы мировых денежных ресурсов. Мы можем устранить это затруднение, условившись, что для целей парадокса суммы в конвертах могут быть любым положительным действительным числом".

P.S.
Кстати, давно собирался исправить ошибку в сообщении #9, но лень было. Сейчас переписал всю первую часть. Раньше было написано, что, приняв допущение о равенстве апостериорных вероятностей, мы тем самым посчитали распределение сумм в конвертах равномерным на множестве положительных чисел. Это неверно. При равномерном распределении (если бы оно существовало) апостериорные вероятности не были бы равны 1/2.