Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[semiSvetik]

Snav все время делает упор на "найдите ошибку"

Вы можете рассуждать следующим образом: "Предположим, что мне разрешили заглянуть в конверт, находящийся у меня в руках, и я обнаружил в нем 100 долларов. Поскольку я выбрал этот конверт случайным образом, то в другом конверте с равной вероятностью может оказаться 50 или 200 долларов.

Ошибка вот в этом самом "...то в другом конверте с равной вероятностью...". Нет, не с равной вероятностью. Если коротко, то условное распределение не обязано должно совпадать с безусловным. Если детальнее (вернее, поплярнее), то можно рассмотреть примеры конкретных вероятностных схем, на которых этот логический переход и не работает.

Пример 1. Дискретная схема. Пусть (только для упрощения рассуждений) у нас есть всего три возможных монеты (1, 2 и 4 мегарубля) и монеты настолько большие, что в конверт помещается только одна монета. Согласно условию в двух конвертах равновозможны такие пары: (1,2), (2,4). Открываем первый конверт... думаю, продолжение очевидно - мы точно будем знать, что во втором конверте, и нужно ли нам менять выбор. Этот же вывод легко обобщается на случай любого числа любых монет и любого их возможного количества в каждом из конвертов.

Пример 2. Непрерывная модель. Если общая сумма всех денег конечна и деньги можно делить на любые дробные части (копейка, 1/10 копейки, 1/100 и т.д.), то случайные величины X, Y (суммы денег в двух конвертах) образуют случайный вектор (X,Y) с некоторым непрерывным распределением на квадрате [0;M]x[0;M] (М - сумма всех возможных денежных средств на планете). Если быть совсем точными, то [0;M]x[0;M] - это не совсем область возможных значений вектора (так называемый носитель распределения), ведь по условию все возможные точки (X,Y) должны быть расположены на двух прямых: y=2x и x=2y, т.е. носителем распределения будут два отрезка: OA и OB, где O(0,0), A и В - точки пересечения прямых y=2x и x=2y с прямой x+y=M. Дальше все то же самое: информация о сумме в первом конверте (каким бы ни было упомянутое безусловное распределение на отрезках ОА и ОВ) меняет информацию (условное распределение) о сумме во втором конверте.

В любых смешанных моделях будет этот же эффект: если в первом открытом конверте обнаружена сумма, близкая к бюджету страны (или, скажем, к денежной массе всей планеты), то эта информация МЕНЯЕТ распределение денежной массы во втором конверте - там ТОЧНО БУДЕТ МЕНЬШЕ. И наоброт, если в первом конверте сумма близка к нулю (1 копейка, например), то во втором конверте ТОЧНО БУДЕТ БОЛЬШЕ.