Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[snav]

Azol
Возможно, вам будет более понятна такая формулировка:

Перед вами два одинаковых запечатанных конверта. Вам сообщили, что в обоих конвертах находятся деньги и что в одном конверте сумма в два раза больше, чем в другом, однако где именно больше — вы не знаете. Вам разрешено взять любой из этих конвертов и оставить себе всю сумму, которую вы в нем найдете. Вы наугад берете в руки один из конвертов, но, прежде чем вы его откроете, ваш спонсор предоставляет вам право поменять конверт. Как вам лучше поступить: оставить себе выбранный конверт или согласиться на обмен?

Вы можете рассуждать следующим образом: "Предположим, что мне разрешили заглянуть в конверт, находящийся у меня в руках, и я обнаружил в нем 100 долларов. Поскольку я выбрал этот конверт случайным образом, то в другом конверте с равной вероятностью может оказаться 50 или 200 долларов. Поэтому математическое ожидание второго конверта составляет 50/2 + 200/2 = 125 долларов. Значит, поменяв конверт, я в среднем выиграю 125 долларов, а сохранив свой первоначальный выбор — только 100 долларов. Поэтому конверт лучше поменять. Аналогичные рассуждения я могу повторить для любой суммы, которая гипотетически может оказаться в моем конверте, и приду к тому же выводу, что замена конверта увеличивает математическое ожидание выигрыша на 25%. Получается, что, какая бы сумма ни находилась в моем конверте, я должен согласиться на обмен. А раз так, то для принятия решения мне не требуется узнавать, сколько на самом деле денег у меня в конверте. Я в любом случае должен взять другой конверт". Таким образом, вы приходите к выводу, что конверт нужно поменять. Но это явный абсурд, ведь имеющаяся у вас информация о конвертах идентична. Где ошибка в рассуждениях?

Это классический вариант парадокса. Усиленный вариант (см. сообщение #9) отличается тем, что задано априорное распределение, по которому формируются конверты, и там матожидания имеют другие значения.