Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[Azol]

Только сумма в конверте может быть "либо-либо".
Кидая кубик с матожиданием 3,5 ты 3,5 никогда не выкинешь, т.к. на кубике нет такого числа.
Имея два неоткрытых конверта матожидание выигрыша равно 3/2 * х при выборе случайного конверта.
Если вводится условие возможности открытия второго конверта, то вариантов 3:
1 - оставляем себе сумму из первого конверта, второй не открываем (выигрыш х)
2 - открываем второй конверт и получаем 2х из него
3 - открываем второй конверт и получаем 0,5х из него.

Здесь решение принимается случайным образом - открываем второй конверт или нет (50-50). Варианты исхода 2 или 3 равновероятны, т.е. 25-25.
Матожидание этого безобразия (если я еще не сошел с ума в конце дня) = х/2 + (0,5х + 2х)/2 = 1,75х.

Тот факт, что во втором случае матожидание повысилось относительно первого случая (1,5х), показывает, что условия эксперимента изменились и в него заложена вероятность того, что во втором конверте может оказаться большая сумма, чем в первом.

Не вижу тут никакого парадокса.