ТУРНИР-2 Опции Рейтинг

[Крантец]

Правила:
1. Не пишем в теме мыслей по решению, только вопросы по условию.
2. Ответы отправляем мне в личку до 23 сентября включительно. Присылать можно задачи по отдельности. Можно многократно отвечать на ту же задачу, но при этом я учту ТОЛЬКО ПОСЛЕДНЕЕ решение. Если хотите внести изменение в предыдущее решение, то отправьте полностью исправленное решение, а не указание, что и где заменить и т.д.
3. Обсуждения не будет- это турнир. Поэтому настоятельно прошу максимально подробно и аргументированно отвечать на вопросы задач. Я оставляю за собой право задавать уточняющие вопросы по вашему решению, но исправить/изменить присланный вариант нельзя в любом случае.
4. В некоторых задачах необходима картинка. Лучше отправить графику, нежели попытаться объяснить на словах или еще как-то. Мне достаточно ссылки.
5. По многим задачам обязательно возникнут вопросы. Я не стал добавлять уточнения в некоторых условиях, чтобы не "утопить" их. Не стесняйтесь уточнять.
6. Занявший первое место будет поощрен мозгобаксами. В зависимости от ответов призы могут получить также 2-е и 3-е места. 1-е место - не менее 30- МБ.
7. Я не задавался целью дать максимально сложные задания, некоторые достаточно просты.
8. Модераторы принимают участие на общих основаниях, только призы (в случае победы, естественно) для них предусмотрены другие.
Условия:

1. Планета мегамозгов в опасности: к планете летят космические корабли оккупантов. К счастью у мегамозгов есть лазерные пушки, способные спасти планету. Необходимо разместить эти пушки на поверхности планеты радиуса r таким образом, чтобы любой корабль, приблизившийся на расстояние 2r от поверхности, оказался под прицелом хотя бы n пушек. Дальность стрельбы пушек неограниченна. Какое минимальное количество пушек понадобится для защиты планеты, если:
а) n=2
б) n=3

2. Имеется круглый разъем с n контактами. Все контакты расположены по периметру через равные промежутки. Есть гнездо, имеющее n отверстий, в которое вставляется данный разъем. Можно ли выбрать такую нумерацию от 1 до n и контактов и отверстий, чтобы при любых поворотах хотя бы один контакт оказывался в отверстии, имеющем тот же номер?

3. Обе стороны листа бумаги площадью 1 поделены на n непересекающихся областей каждая. С одной стороны все области пронумеровали от 1 до n. Доказать, что можно пронумеровать области с другой стороны таким образом, что общая площадь кусочков с одинаковыми номерами будет не меньше 1/n.

4. Какую минимальную длину должно иметь веревочное кольцо, чтобы в него можно было продеть тетраэдр с единичным ребром, а кольцо все время оставалось в одной плоскости? (Форма кольца при этом может изменяться)

5. Город Н-ск имеет форму круга радиуса 10 км. В городе круглосуточно включены фонари, питающиеся от аккумуляторов. Полностью заряженный аккумулятор позволяет фонарю освещать круг радиуса 200 м. За каждый час работы радиус освещенного круга линейно уменьшается на 10 м. Время от времени аккумуляторы заменяют. Однажды за одни сутки было полностью разряжено 18000 аккумуляторов. Могло ли так случиться, что в эти сутки ни одна точка города не освещалась более чем одним фонарем?

6. Существуют ли такие четыре одинаковых многоугольника, которые удовлетворяют двум условиям:
а) добавив к ним один квадратик, можно сложить большой квадрат
б) из трех таких многоугольников можно сложить равносторонний треугольник ?

7. В Чемпионате по футболу участвовало 55 команд. Матчи «на вылет» шли последовательно. У соперников в любом матче количество побед либо равно, либо отличается на 1. Какое максимальное число матчей мог провести чемпион ?

8. В урне находятся черные и белые шары. Вероятность, что из двух вытащенных шаров, оба окажутся черными, равна ½.
а) Найдите минимальное возможное количество шаров в урне
б) Найдите минимальное возможное количество шаров в урне, если известно, что белых- четное число

9. У мегамозга есть необычные весы: у них 3 чаши, расположенные на плечах, составляющих по 120 градусов между собой и лежащих в одной плоскости. Если положить на все чаши по m монет, то станет понятно, на какой из чаш вес, равный весу m настоящих монет, на какой чаше больший вес и на какой меньший (если они есть, конечно). Имеется m монет, среди них две фальшивых, отличающихся по весу от настоящих на +х и –х соответственно. Для какого максимального числа монет m можно найти фальшивые монеты за n взвешиваний на этих весах, если:
а) n=2 б) n=3 в) n=5 ?

10. Можно ли на плоскости в декартовой системе координат расположить правильный шестиугольник так, чтобы все его вершины лежали в точках с целочисленными координатами?

Успехов!

Сообщение было отредактировано Крантец: 3.9.2012, 18:00

[Крантец]

Пока нет ответов на №1, 5 и 9, причем даже неверных Показатель уровня сложности?

[сапер]

Пока нет ответов на №1, 5 и 9, причем даже неверных Показатель уровня сложности?

А как на №1 отвечать, нам - бандерлогам, если спрашивается: " Какое колличество..", если это колличество задано условием ),.. может все-таки как "разместить"? И, собственно, как давать ответ? В общем виде ( и обосновать)...или приводить коардинату каждой пушки (и обосновать)??

[SusAnna]

А как на №1 отвечать, нам - бандерлогам, если спрашивается: " Какое колличество..", если это колличество задано условием ),.. может все-таки как "разместить"? И, собственно, как давать ответ? В общем виде ( и обосновать)...или приводить коардинату каждой пушки (и обосновать)??

не указано. По условию нужно разместить минимальное количество пушек на планете так, чтобы каждая точка сферы на расстоянии 2r от планеты была под прицелом как минимум n пушек (2х или 3х)
если я правильно поняла, конечно))

[сапер]

не указано. По условию нужно разместить минимальное количество пушек на планете так, чтобы каждая точка сферы на расстоянии 2r от планеты была под прицелом как минимум n пушек (2х или 3х)

Скопипастил собственно вопрос, именно для Вас: "Какое минимальное количество пушек понадобится для защиты планеты, если:
а) n=2
б) n=3 " !!

[SusAnna]

Скопипастил собственно вопрос, именно для Вас: "Какое минимальное количество пушек понадобится для защиты планеты, если:
а) n=2
б) n=3 " !!

Скопипастила специально для Вас)
" Необходимо разместить эти пушки на поверхности планеты радиуса r таким образом, чтобы любой корабль, приблизившийся на расстояние 2r от поверхности, оказался под прицелом хотя бы n пушек"

[сапер]

Скопипастила специально для Вас)
" Необходимо разместить эти пушки на поверхности планеты радиуса r таким образом, чтобы любой корабль, приблизившийся на расстояние 2r от поверхности, оказался под прицелом хотя бы n пушек"

Вопрос задачи сформулируйте пожалуйста...И сравните с оригиналом...А в Вашем решении какой ответ? и на какой вопрос?

[SusAnna]

Вопрос задачи сформулируйте пожалуйста...И сравните с оригиналом...А в Вашем решении какой ответ? и на какой вопрос?

ну я так поняла вопрос, есть лазерные пушки, которые умеют поворачиваться в любом направлении. Дальность стрельбы у пушки не ограничена, но ниже линии горизонта она стрелять не умеет, бо луч лазера туда не пройдет. К планете радиуса r может внезапно в любой точке на расстоянии 2r от поверхности (читай сфере радиуса 3r) телепортироваться корабль врага. Задача: разместить на поверхности планеты пушки так, чтобы в какой точке ни возник корабль на него могли быть нацелены как минимум (из условия "хотя бы") N пушек.
Где а) N = 2; б) N = 3
у меня ответа нет, пока я решила задачу только в плоскости)

[сапер]

ну я так поняла вопрос, есть лазерные пушки, которые умеют поворачиваться в любом направлении. Дальность стрельбы у пушки не ограничена, но ниже линии горизонта она стрелять не умеет, бо луч лазера туда не пройдет. К планете радиуса r может внезапно в любой точке на расстоянии 2r от поверхности (читай сфере радиуса 3r) телепортироваться корабль врага. Задача: разместить на поверхности планеты пушки так, чтобы в какой точке ни возник корабль на него могли быть нацелены как минимум (из условия "хотя бы") N пушек.
Где а) N = 2; б) N = 3
у меня ответа нет, пока я решила задачу только в плоскости)

Вы так же как и многие "домыслили" непонятный вопрос Ну а когда вдруг решите, в каком виде ответ присылать будете?

[SusAnna]

Вы так же как и многие "домыслили" непонятный вопрос Ну а когда вдруг решите, в каком виде ответ присылать будете?

мне кажется я домыслила только то что пушки не могут "видеть" за горизонтом)
Может Вы и правы. но прочитав дополнение автора чуть ниже : "1. Можно считать, что корабль только один, неизвестно в какой точке сферы радиусом 3r он материализуется, никаких зеркал и других приспособлений тут быть не может, есть прямая видимость- корабль под прицелом, пушки мгновенно разворачиваются. "
лично у меня вопросов не возникло.
я если честно не понимаю. откуда Вы прочитали, что количество пушек равно n. Если из процитированного мною куска условия написано что под прицелом n пушек.
Да и не логично это, если пушек всего 2, то этого недостаточно чтобы обеспечить безопасность планеты. Разместим пушки на "полюсах" к примеру, тогда пояс на экваторе будет вообще не защищен ни одной пушкой - телепортируйся не хочу.

А когда я решу задачу, то буду присылать ответ в виде:
а) Для того чтобы каждая точка сферы 3r была под прицелом хотя бы 2х пушек необходимо минимум Z пушек, потому что...
б) Для того чтобы каждая точка сферы 3r была под прицелом хотя бы 3х пушек необходимо минимум Y пушек, потому что...

[сапер]

мне кажется я домыслила только то что пушки не могут "видеть" за горизонтом)
Может Вы и правы. но прочитав дополнение автора чуть ниже : "1. Можно считать, что корабль только один, неизвестно в какой точке сферы радиусом 3r он материализуется, никаких зеркал и других приспособлений тут быть не может, есть прямая видимость- корабль под прицелом, пушки мгновенно разворачиваются. "
лично у меня вопросов не возникло.
я если честно не понимаю. откуда Вы прочитали, что количество пушек равно n. Если из процитированного мною куска условия написано что под прицелом n пушек.
Да и не логично это, если пушек всего 2, то этого недостаточно чтобы обеспечить безопасность планеты. Разместим пушки на "полюсах" к примеру, тогда пояс на экваторе будет вообще не защищен ни одной пушкой - телепортируйся не хочу.

А когда я решу задачу, то буду присылать ответ в виде:
а) Для того чтобы каждая точка сферы 3r была под прицелом хотя бы 2х пушек необходимо минимум Z пушек, потому что...
б) Для того чтобы каждая точка сферы 3r была под прицелом хотя бы 3х пушек необходимо минимум Y пушек, потому что...

Так и у ни кого не возникло... За маленьким исключением , что спрашивается в задачке?
Откуда прочитал про n пушек? Оттуда же откуда и Вы! Из условия. Про логично или нет, это Вы в своем самостоятельном решении напишите и хорошо обоснуете, - ладно? А всем кому так не кажетсям - подумают


Смысл тот, что N надо понимать как миниму количества пушек под прицелом объекта
А найти надо минимальное колличество пушек, которое при таких условиях, можно разместить на сфере

А когда я решу задачу, то буду присылать ответ в виде:
а) Для того чтобы каждая точка сферы 3r была под прицелом хотя бы 2х пушек необходимо минимум Z пушек, потому что...

Желаю успехов!