ТУРНИР-2 Опции Рейтинг

[Крантец]

Правила:
1. Не пишем в теме мыслей по решению, только вопросы по условию.
2. Ответы отправляем мне в личку до 23 сентября включительно. Присылать можно задачи по отдельности. Можно многократно отвечать на ту же задачу, но при этом я учту ТОЛЬКО ПОСЛЕДНЕЕ решение. Если хотите внести изменение в предыдущее решение, то отправьте полностью исправленное решение, а не указание, что и где заменить и т.д.
3. Обсуждения не будет- это турнир. Поэтому настоятельно прошу максимально подробно и аргументированно отвечать на вопросы задач. Я оставляю за собой право задавать уточняющие вопросы по вашему решению, но исправить/изменить присланный вариант нельзя в любом случае.
4. В некоторых задачах необходима картинка. Лучше отправить графику, нежели попытаться объяснить на словах или еще как-то. Мне достаточно ссылки.
5. По многим задачам обязательно возникнут вопросы. Я не стал добавлять уточнения в некоторых условиях, чтобы не "утопить" их. Не стесняйтесь уточнять.
6. Занявший первое место будет поощрен мозгобаксами. В зависимости от ответов призы могут получить также 2-е и 3-е места. 1-е место - не менее 30- МБ.
7. Я не задавался целью дать максимально сложные задания, некоторые достаточно просты.
8. Модераторы принимают участие на общих основаниях, только призы (в случае победы, естественно) для них предусмотрены другие.
Условия:

1. Планета мегамозгов в опасности: к планете летят космические корабли оккупантов. К счастью у мегамозгов есть лазерные пушки, способные спасти планету. Необходимо разместить эти пушки на поверхности планеты радиуса r таким образом, чтобы любой корабль, приблизившийся на расстояние 2r от поверхности, оказался под прицелом хотя бы n пушек. Дальность стрельбы пушек неограниченна. Какое минимальное количество пушек понадобится для защиты планеты, если:
а) n=2
б) n=3

2. Имеется круглый разъем с n контактами. Все контакты расположены по периметру через равные промежутки. Есть гнездо, имеющее n отверстий, в которое вставляется данный разъем. Можно ли выбрать такую нумерацию от 1 до n и контактов и отверстий, чтобы при любых поворотах хотя бы один контакт оказывался в отверстии, имеющем тот же номер?

3. Обе стороны листа бумаги площадью 1 поделены на n непересекающихся областей каждая. С одной стороны все области пронумеровали от 1 до n. Доказать, что можно пронумеровать области с другой стороны таким образом, что общая площадь кусочков с одинаковыми номерами будет не меньше 1/n.

4. Какую минимальную длину должно иметь веревочное кольцо, чтобы в него можно было продеть тетраэдр с единичным ребром, а кольцо все время оставалось в одной плоскости? (Форма кольца при этом может изменяться)

5. Город Н-ск имеет форму круга радиуса 10 км. В городе круглосуточно включены фонари, питающиеся от аккумуляторов. Полностью заряженный аккумулятор позволяет фонарю освещать круг радиуса 200 м. За каждый час работы радиус освещенного круга линейно уменьшается на 10 м. Время от времени аккумуляторы заменяют. Однажды за одни сутки было полностью разряжено 18000 аккумуляторов. Могло ли так случиться, что в эти сутки ни одна точка города не освещалась более чем одним фонарем?

6. Существуют ли такие четыре одинаковых многоугольника, которые удовлетворяют двум условиям:
а) добавив к ним один квадратик, можно сложить большой квадрат
б) из трех таких многоугольников можно сложить равносторонний треугольник ?

7. В Чемпионате по футболу участвовало 55 команд. Матчи «на вылет» шли последовательно. У соперников в любом матче количество побед либо равно, либо отличается на 1. Какое максимальное число матчей мог провести чемпион ?

8. В урне находятся черные и белые шары. Вероятность, что из двух вытащенных шаров, оба окажутся черными, равна ½.
а) Найдите минимальное возможное количество шаров в урне
б) Найдите минимальное возможное количество шаров в урне, если известно, что белых- четное число

9. У мегамозга есть необычные весы: у них 3 чаши, расположенные на плечах, составляющих по 120 градусов между собой и лежащих в одной плоскости. Если положить на все чаши по m монет, то станет понятно, на какой из чаш вес, равный весу m настоящих монет, на какой чаше больший вес и на какой меньший (если они есть, конечно). Имеется m монет, среди них две фальшивых, отличающихся по весу от настоящих на +х и –х соответственно. Для какого максимального числа монет m можно найти фальшивые монеты за n взвешиваний на этих весах, если:
а) n=2 б) n=3 в) n=5 ?

10. Можно ли на плоскости в декартовой системе координат расположить правильный шестиугольник так, чтобы все его вершины лежали в точках с целочисленными координатами?

Успехов!

Сообщение было отредактировано Крантец: 3.9.2012, 18:00

[Крантец]

По п.1 Условие задачи трехмерное? (по критьериям заданных в n, думается, что двумерное, - ну мне так кажется ).
п.4 Прикольная задачка, на мой взгляд. Жаль, что ее нет на сайте

1-я трехмерная. А для сайта, на мой взгляд, подошли бы 1 (с другим условием, для турнира усложнил немного ее просто ), 2-5. Из остальных можно было бы еще 9, опять же с изменениями небольшими...Но это не мне решать Я получил первые ответы, да и первые вопросы по задачам. Много непоняток, попробую пояснить чуть:
я не могу запретить программные решения, но в задачах требуется обоснование. Ссылка на электронного друга таковым не является. Я не знаю никаких "общеизвестных" фактов, кроме таблицы умножения и т. Пифагора. Поэтому убедительно прошу обосновывать все свои утверждения. Непосредственно по задачам:
1. Можно считать, что корабль только один, неизвестно в какой точке сферы радиусом 3r он материализуется, никаких зеркал и других приспособлений тут быть не может, есть прямая видимость- корабль под прицелом, пушки мгновенно разворачиваются. Обоснование нужно. Лучше написать в ответе 1000000 пушек, нежели вообще не ответить
2. Задача непроста!!! Проверьте себя, прежде чем торопиться с ответом. В условии:" при любых поворотах хотя бы один контакт оказывался в отверстии, имеющем тот же номер? "
3. Все области могут быть разного размера ! Они обязательно покрывают всю сторону.
4. Веревка гибкая, принимает любую форму. В процессе протаскивания форму можно изменять.
5. Важно, что аккумуляторы разряжены полностью через сутки. Как именно их меняли и когда, мы не знаем( могли на треть разряженный поменять на полузаряженный и т.д.) Важно только, что фонарные столбы не имеют ног и то , что разрядили полностью 18000 (иначе все было бы очень просто- разрядить по 0,00001 % у каждого и ...А так требуется достаточно веселый и увлекательный анализ) Располагаться фонари могут как угодно, перезаряжаются мгновенно.
6. Одинаковые многоугольники могут переворачиваться, зеркалиться и т.д., после некоторых из этих процедур обязательно совпадут при наложении. Внимание: в задаче надо привести ХОТЯ БЫ ОДИН пример или доказать несуществование таких фигур.
7. Имеется ввиду, что перед матчем именно выполняются условия задачи.
8. Оба шара достали, первый не возвращали назад. Обоснование необходимо.
9. Есть три веса А, В и С. Если все три поместить на чаши, то можно строго их упорядочить. Два равных веса на одном уровне всегда... По поводу +х и -х : важно только то, что в сумме они дают вес двух настоящих монет.
10. Вроде все тут ясно. Обоснование
Успехов!

[Альтер]

8. Оба шара достали, первый не возвращали назад.

совершенно не понял этот комментарий. прочел его только после отправки ответа, теперь сомневаюсь, может вообще не так понял условие задачи.