IPB

Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )

> Правила раздела

Публикующим:
     1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
          - создав для нее отдельную тему с информативным названием;
          - добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
     2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
     1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
     2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.

> Парадокс двух конвертов, теория вероятностей
Рейтинг  5
snav
23.11.2009, 15:09
Сообщение #1


Kорифей
****

Группа: Модераторы
Сообщений: 4 135
Регистрация: 13.4.2008
Из: Россия
Пользователь №: 7 457



Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?


Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
Ответов
cmtx
13.6.2012, 19:01
Сообщение #2


Новичок
*

Группа: Пользователи Braingames
Сообщений: 15
Регистрация: 23.2.2011
Пользователь №: 23 515



QUOTE( @ 13.6.2012, 17:40) *

С вероятностью 50% это меньший конверт и во втором вдвое больше, и с такой же вероятностью это больший конверт и во втором вдвое меньше 50%*2x+50%x/2.

в конверте лежит всего две суммы. одну можно обозначить за x, а другую за 2x.
этих переменных достаточно
QUOTE( @ 13.6.2012, 17:40) *

Конвертов тут два. Про какое конечное число конвертов вы хотели сказать я не знаю.

я имел в виду конечное число опытов.

сегодня мне пришли в голову ещё кое-какие мысли.
например.
мы выбрали первый конверт. но на самом деле не важно, выбрали ли мы его изначально или перешли к нему от второго конверта, независимо от суммы, которая там лежала. аналогично мы двумя путями могли открыть второй конверт. поэтому, в среднем мы будем получать одинаковое количество денег, независимо от того, будем мы менять выбор или нет.
или так: мы увидели конверт, в котором 4 бакса, например. значит мы имеем дело с парой 4-8 или 4-2. в случае, когда мы бы натыкались на пару 4-8 мы в среднем выигрывали бы 6 баксов, независимо от того, меняли бы выбор или нет. аналогично, наткнувшись на 2ю пару, мы выигрывали бы 3 бакса, независимо от того, меняли бы выбор или нет. т.к. эти два случая равновероятны, то мы бы выигрывали в среднем 4.5 бакса независимо от того, меняли бы выбор или нет. интуитивно можно подумать, раз сейчас в конверте 4 бакса, а наше матожидание в любом случае больше, то почему бы не поменять выбор? однако, мы сейчас могли бы оказаться в ситуации, когда уже поменяли выбор, расчитывая на повышение результата. как мы понимаем, такое действие приводит к поглощению нашего возможного выигрыша в матожидании. аналогично, симметричная ситуация (т.е. наша) будет приводить к такому же поглощению.
повторюсь, уже в какой раз, правда, немного в другой форме. когда перед нами 2 закрытых конверта, мы полагаем, что там возможны все возможные варианты пар сумм денег. поэтому матожидание от выбора или смены выбора будет одним и тем же, если вообще будет определено. когда же мы открываем один конверт, то все возможные варианты усекаются до двух случаев. если бы мы изначально знали, что будут именно эти два случая, то мы бы точно знали заранее, когда нужно менять выбор, а когда нет. то есть, в корне меняется условие.
в частности, в сообщении №9 предложено экспоненциальное распределение. пока мы не вскрыли ни один конверт, матожидание одно. и его можно подсчитать. когда мы вскрываем, то матожидание другое. однако, при вскрытии большого числа пар конвертов с таким распределением мы получим в среднем изначальное матожидание, независимо от того, меняли мы выбор или нет.

зы. в задаче требуется найти ошибку в рассуждениях. она известна вообще кому-нибудь, хотя бы топик стартеру?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Сообщения в этой теме
snav   Парадокс двух конвертов   23.11.2009, 15:09
tatunya   а может из того факта, что во втором конверте мато...   23.11.2009, 16:24
alan   а может из того факта, что во втором конверте мат...   23.11.2009, 16:32
John777   1. Пусть мы увидели х руб. в первом конверте, тогд...   24.11.2009, 9:56
snav   1. Пусть мы увидели х руб. в первом конверте, тогд...   24.11.2009, 10:55
tatunya   а можно услышать возражения насчет "мне кажет...   24.11.2009, 12:08
snav   а можно услышать возражения насчет "мне кажет...   24.11.2009, 13:25
tatunya   Допустим, известно априорное распределение денег...   26.11.2009, 16:22
Powered by Java   Powered by Java, вероятностная модель известна, п...   26.11.2009, 17:02
tatunya   Если мы гарантируем некое распределение на стадии...   26.11.2009, 17:40
vegetable   Однако все оказалось не так просто. Можно перефор...   4.12.2011, 17:28
snav   Допустим, известно априорное распределение денег в...   20.12.2011, 16:45
nik_vic   Вполне возможно, что вскрыв конверт, мы обнаружим...   20.12.2011, 17:02
idler_   Вполне возможно, что вскрыв конверт, мы обнаружим ...   20.12.2011, 17:35
snav   Вскрыв конверт, мы обнаружим вполне фиксированную ...   20.12.2011, 17:50
idler_   Мне кажется, что в данной задаче "фиксированн...   20.12.2011, 17:53
nik_vic   Пока не видел возражений, что "парадокс...   20.12.2011, 18:41
tatunya   Допустим, известно априорное распределение денег ...   24.11.2009, 14:56
snav   Но тут не используется вероятность самого события ...   24.11.2009, 15:10
tatunya   Это событие уже произошло. Его вероятность равна ...   24.11.2009, 15:22
snav   Допустим, известно распределение денег в конвертах...   24.11.2009, 15:34
tatunya   Мы решаем математический парадокс. Здесь не нужно...   24.11.2009, 16:48
snav   А на чем основывается ваша уверенность, что в данн...   24.11.2009, 17:42
John777   Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обо...   24.11.2009, 16:59
snav   Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обо...   24.11.2009, 17:58
John777   Ну вы опять говорите про априорное матожидание, а...   24.11.2009, 18:38
snav   Пусть у нас есть какая-то стратегия (зависящая от ...   24.11.2009, 19:28
John777   Вы меня сильно озадачили. :) Но корректно ли так ...   24.11.2009, 19:39
snav   Ok. Пусть вам предлагают каждый раз выбирать между...   24.11.2009, 19:48
John777   Ok. Пусть вам предлагают каждый раз выбирать межд...   24.11.2009, 20:08
snav   Как я понимаю, из всего этого следует, что о беско...   24.11.2009, 20:20
John777   Наверно, как всегда в подобных случаях - теоретич...   24.11.2009, 20:23
snav   Я серьезно: есть 2 стратегии, по каким критериям м...   24.11.2009, 20:36
John777   Поэтому при сравнении стратегий в любом случае пр...   25.11.2009, 13:03
tatunya   Т.е snav согласен, что менять конверт это абсурд, ...   25.11.2009, 13:14
snav   Т.е snav согласен, что менять конверт это абсурд, ...   25.11.2009, 13:37
John777   Когда мы узнаем кол-во денег в одном из конвертов,...   25.11.2009, 15:46
Powered by Java   Играем в следующую игру. Перед вами 2 конверта с д...   25.11.2009, 15:47
snav   Играем в следующую игру. Перед вами 2 конверта с д...   25.11.2009, 20:08
John777   Играем в следующую игру. Перед вами 2 конверта с ...   25.11.2009, 20:57
snav   snav, что насчет моего последнего поста? Я ничего ...   25.11.2009, 21:04
John777   Я ничего не понял. Совсем ничего. :) Назовем це...   25.11.2009, 21:17
denisR   Я во всем этом плохо разбираюсь. И не понял многог...   25.11.2009, 16:02
snav   почему говорится о симметрии. Об этом подробно нап...   25.11.2009, 20:37
denisR   Эту задачу можно перефразировать так что никакой с...   25.11.2009, 17:01
snav   Симметрии тут, конечно, нет. Симметрия задачи в др...   26.11.2009, 7:59
John777   А насчет вашей фразы "мы знаем кол-во денег ...   26.11.2009, 9:18
snav   Я полагаю, что наше решение не зависит от суммы в ...   26.11.2009, 9:45
snav   John777, попробую проиллюстрировать нелепость ситу...   26.11.2009, 10:04
Powered by Java   John777, попробую проиллюстрировать нелепость сит...   26.11.2009, 13:23
John777   snav, спасибо, понял свою ошибку в понимании симме...   26.11.2009, 14:04
Powered by Java   snav, спасибо, понял свою ошибку в понимании симм...   26.11.2009, 14:14
tatunya   .... Можно ли модель 2.б применить к этой задаче?...   26.11.2009, 14:22
Powered by Java   Как много букв, но может этот парадокс и пытаются...   26.11.2009, 15:38
tatunya   В условии нет ничего, про выбор сумм в конвертах....   26.11.2009, 16:05
Powered by Java   Сумма выбирается случайно с заданной вероятностью...   26.11.2009, 16:17
Mouse   snav - злостный провокатор :)   26.11.2009, 17:45
John777   snav - злостный провокатор :) Да, ладно... Ща п...   26.11.2009, 18:32
UNDEFEAT   Да, ладно... Ща по-быстрому решим это, потом пере...   14.11.2010, 15:04
сапер   snav - злостный провокатор :) :) А мне сама идея...   1.12.2009, 22:46
snav   Предлагаю здесь для всех желающих публиковать наиб...   2.12.2009, 8:11
ars   Мне кажется, что при решении задачи изначально иде...   13.12.2009, 23:12
snav   Ну что... похоже глухо. Мозговой штурм не помог. :...   29.11.2009, 20:51
John777   Ну что... похоже глухо. Мозговой штурм не помог. ...   30.11.2009, 5:14
snav   Ожидал, что вдруг найдется какой-нибудь гений, кот...   30.11.2009, 7:19
John777   ars, у вас получилось, что нужно брать конверт, ко...   14.12.2009, 1:00
ars   Вот хотел обосновать свой предыдущий пост, но реши...   14.12.2009, 13:48
George007   Хоть тема и издохла давно, но по-моему дело вот в ...   2.4.2010, 13:52
Nadha   а) Если мы вскрыли первый конверт, то нам однозн...   3.4.2010, 11:55
ars   "Я дико извиняюсь, господа президенты, но я в...   5.4.2010, 9:45
snav   ars, к сожалению, в википедии (ни в русской, ни в ...   5.4.2010, 10:57
сапер   ars, к сожалению, в википедии (ни в русской, ни в...   5.4.2010, 11:25
ars   Два глупых вопроса: 1) Мы сейчас пытаемся разобра...   8.4.2010, 12:37
ars   И вообще, если перефразировать изначальную задачу ...   8.4.2010, 13:20
snav   1) Мы сейчас пытаемся разобраться с этим парадоксо...   8.4.2010, 16:48
George007   Как уже писали выше, если участников двое и кажды...   5.4.2010, 12:11
Nadha   Так что нет, не выгодно им ничем меняться. Потому...   5.4.2010, 13:20
George007   Это тут тоже уже обсуждалось. Если бы выгода вскр...   6.4.2010, 8:24
Nadha   Ваш средний выигрыш приближается к мат. ожиданию ...   6.4.2010, 10:44
Nadha   это не так, задачи не равнозначные, ведь если услу...   8.4.2010, 14:05
fayde   Я извинияюсь за то, что не стал читать далее 1й ст...   31.12.2010, 15:03
Vizitor   Честно говоря, я теорию вероятностей пропустил в с...   31.12.2010, 16:30
snav   Я не совсем понял ваш вопрос. Парадокс в том, что ...   31.12.2010, 16:37
Vizitor   согласно приведенным рассуждениям 1. В случае, есл...   31.12.2010, 16:59
nik_vic   Парадокс в том, что согласно приведенным рассужде...   3.12.2011, 11:38
vegetable   Подскажите парадокс уже разрешен и тема закрыта? И...   2.12.2011, 23:01
UNDEFEAT   Подскажите парадокс уже разрешен и тема закрыта? ...   3.12.2011, 0:26
snav   vegetable, что именно вам не понятно?   5.12.2011, 18:17
vegetable   vegetable, что именно вам не понятно? Непонятно ...   5.12.2011, 19:08
snav   Непонятно как устранился "недостаток" на...   5.12.2011, 19:25
vegetable   Возможно ли уточнить каким образом составляются ...   5.12.2011, 20:22
snav   Возможно ли уточнить каким образом составляются ...   5.12.2011, 20:30
0   Возможные пары: 1-я пара: 1 и 10 2-я пара: 10 и 1...   5.12.2011, 20:44
nik_vic   Подумалось: А давайте не будем анализировать выбо...   5.12.2011, 21:36
0   Да меня в основном заинтересовал аспект интуитивно...   6.12.2011, 16:31
nik_vic   Да меня в основном заинтересовал аспект интуитивн...   6.12.2011, 16:44
3 Страниц V  1 2 3 >


Ответить в эту темуОткрыть новую тему
2 чел. читают эту тему (гостей: 2, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0 -

 



- Упрощённая версия Сейчас: 20.7.2025, 6:26
Яндекс.Метрика