Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[cmtx]

Ну уже в первом абзаце вы обсчитались и неправильно нашли матожидание 1.5х а должно быть 1.25х

это как? если с вероятностью 50% x и с вероятностью 50% 2x, то 0.5*x+0.5*2x = 1.5x

В следующем вы вообще потеряли неизвестную и соответственно весь абзац не имеет смысла.

не понимаю, о какой неизвестной идёт речь.

Последний абзац у вас неожиданно не связан с предыдущими и поэтому и ошибки там независимые:
ваша ключевая фраза "матожидание ... стремится к матожиданию ..." бессмысленна т.к. матожидание это число оно никуда не стремится.

я оговорился. предел суммы (матожидание) денег в первых конвертах равен пределу суммы денег во вторых конвертах при количестве конвертов, стремящемуся к бесконечности.

А вообще лучше прочесть предыдущие страницы - там говорилось например о невозможности положить в конверт суммы так чтобы испытуемый при смене конверта имел равные шансы на увеличение или уменьшение независимо от суммы которую он увидел.

возможно. при конечном числе конвертов.
повторюсь, что:
1. наша задача в случае, когда мы увидели один конверт, и хотим поменять своё решение, эквивалентна задаче в случае, когда перед нами бесконечное (или ограниченное) число конвертов и каждый раз нам попадается конверт с одной и той же суммой. тогда мы всегда должны менять решение.
2 случай, когда мы не знаем, сколько денег в каком конверте, то менять выбор заранее не имеет смысла, так как этот случай эквивалентен тому, когда перед нами бесконечное (только бесконечное) число конвертов и каждый раз нам попадается конверт со случайной суммой. тогда менять выбор будет бессмысленно, так как предел суммы в первых конвертах будет равен пределу суммы во вторых.

А вообще лучше прочесть предыдущие страницы - там говорилось например о невозможности положить в конверт суммы так чтобы испытуемый при смене конверта имел равные шансы на увеличение или уменьшение независимо от суммы которую он увидел.

это логически следует из того, что я сказал. хотя, вроде бы это следует из самого условия (т.е. более понятно)