Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[nik_vic]

Скажу еще несколько слов, чтобы уточнить суть парадокса (напомню, мы рассматриваем исправленную версию из сообщения #9). Парадокс состоит в кажущемся противоречии между двумя бесспорными фактами:
(1) симметрия конвертов до открытия;
(2) заведомо известная предпочтительность обмена конвертов после открытия.

В чем конкретно видится это противоречие? Исследователи парадокса ссылаются на интуитивно очевидный принцип доминирования. Скажем, имеются две альтернативы A и B, а также полная группа несовместных событий E. Если B строго предпочтительнее A в случае наступления любого события из множества E, то B строго и безусловно предпочтительнее A. (Разные авторы по-разному формулируют и называют этот принцип, но суть одна и та же).

Ясно, что соображение (2) вместе с принципом доминирования вступают в конфликт с соображением (1).

Принцип доминирования выглядит очень правдоподобно. Тем не менее, в данном случае он ложен. Чтобы убедиться в этом, достаточно задаться вопросом: какой фактический смысл мы вкладываем в понятие "предпочтительность", говоря об условной предпочтительности и о безусловной.

Принцип доминирования остаётся незыблемым. Обнаружив в первом конверте 22, для второго имеем 11 либо 44, и в первом случае менять-то не следует.
"Парадокс" возникает из-за расширенного комплекса блондинки - ну, той, которая приписывает равные вероятности противоположным событиям. Случайно обозначив конверты как А и В, мы действительно имеем "симметрию" для К(А)>K(В) и К(А)<K(В). Однако это не означает, что симметрия сохраняется для апостериорных вероятностей, когда появляется Х=К(А).