Парадокс двух конвертов, теория вероятностей Опции Рейтинг

[snav]

Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег?

Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи.

Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд.

Вопрос: где ошибка в рассуждениях?

Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях.

---------------------------------------------------

P.S.
Рекомендую также прочитать:
Уточненная формулировка парадокса
Парадокс с известным распределением (сообщение #9).

Предполагаемые решения парадокса:
Однократная игра с неизвестным распределением
Однократная игра с известным распределением
Многократная игра с известным распределением

Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05

[alan]

Т.е. получается штука в том, что мы просто не можем открыть конверт *crazy* (находящаяся там сумма нас "раздавит"). Потому, что распределение вероятности "плохое" (имеет бесконечное среднее).Выходит для предотвращения такого парадокса, просто нужно в ТВ ввести некоторую аксиому, которая будет ограничивать нас в выборе распределений вероятности, и откинет все "плохие" распределения.

Или не распределение плохое, а мат ожидание при данном распределении плохое.
Тут мы рассуждаем как бы нам заработать побольше. И используем мат. ожидание как некий реальный заработок. (фактически мы говорим, что когда нам дают закрытый конверт нам дали сумму равную мат. ожиданию). Так вот, потому, что мат ожидание еще для первого конверта бесконечное мы не можем в этом случае использовать его как заработок.

___
Кстати, интересно, если продолжать предполагать, что мат. ожидание = заработок, тогда выходит нам невыгодно открывать конверт! Если мы откроем конверт, заработок обязательно уменьшится.
И при этом конвертом можно пользоваться как купюрой стоимостью inf рублей. Ведь никто в своем уме не будет его открывать. И значит для всех будущих обладателей он будет иметь именно такую стоимость.
И тогда очевидно, что менять этот конверт, на тот, что лежит рядом бессмысленно - меняешь купюру стоимостью inf на купюру стоимостью N*inf = inf, а они равносильны.