Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )
Публикующим:
1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
- создав для нее отдельную тему с информативным названием;
- добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.
Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
snav |
23.11.2009, 15:09
Сообщение
#1
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.
Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег? Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи. Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд. Вопрос: где ошибка в рассуждениях? Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях. --------------------------------------------------- P.S. Рекомендую также прочитать: Уточненная формулировка парадокса Парадокс с известным распределением (сообщение #9). Предполагаемые решения парадокса: Однократная игра с неизвестным распределением Однократная игра с известным распределением Многократная игра с известным распределением Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05 |
tatunya |
24.11.2009, 12:08
Сообщение
#2
|
Участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 225 Регистрация: 4.9.2008 Пользователь №: 9 774 |
а можно услышать возражения насчет "мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)", вроде же не существует равномерного распределения на бесконечном отрезке, ведь если например рассмотреть конечное количество исходов, то матожидание выигрыша при замене конверта получается 0 (возможно в общем случае для бесконечного числа - тоже 0), т.е до открытия конверта задача симметрична, после открытия уже нет, но решение должно зависить от знания закона распределения конвертов и от конкретного числа денег в открытом конверте
|
snav |
24.11.2009, 13:25
Сообщение
#3
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
а можно услышать возражения насчет "мне кажется подозрительным, что в приведенном решении полагается, что какое бы число N в конверте не оказалось, для него существуют две равновероятные пары (N/2,N) и (N,2N)", вроде же не существует равномерного распределения на бесконечном отрезке Это наиболее распространенное объяснение парадокса. До недавнего времени я сам придерживался такой же точки зрения. Действительно, пусть X и Y — количество денег в первом и втором конверте соответственно. Тогда M(Y|X=x) = P1*2x + P2*x/2, где P1=P(Y>X|X=x), P2=P(Y<X|X=x). Мы предположили, что P1=P2 для любого значения x. Но такое допущение некорректно, так как не существует такого закона распределения случайных величин X и Y, при котором равенство P1=P2 выполнялось бы для любого значения x. Однако все оказалось не так просто. Можно переформулировать парадокс таким образом, чтобы исключить указанный недостаток. В новом варианте "классическое" объяснение уже не работает, а парадокс все равно остается. Вот формулировка, взятая из интернета: Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах: - с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов, - с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов, ... - с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов. Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1. Теперь, пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять. -------------------------------------------- Подкорректировал сообщение (устранил неточность): Было написано, что равенство P1=P2 соответствует допущению о равномерном законе распределения на бесконечной полуоси, которого, как известно, не существует. На самом деле, при равномерном распределении вероятности P1 и P2 были бы равны не 1/2, а 2/3 и 1/3 соответственно. Сообщение было отредактировано snav: 8.3.2014, 15:12 |
snav |
20.12.2011, 16:45
Сообщение
#4
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах: - с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов, - с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов, ... - с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов. Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1. Теперь, пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Если же в первом конверте оказался 1 доллар (n=0), то целесообразность смены конверта очевидна. Получается, что в любом случае конверт выгодно поменять. Пришла в голову мысль, как разрешить парадокс. Таким образом, целесообразность смены конверта зависит от того, сколько денег в первом конверте: если конечная сумма — конверт выгодно поменять, если бесконечная — выгодность замены не определена. Устраивает ли такое объяснение? ------------------- Подумал. Ерунду написал. Сообщение было отредактировано snav: 22.12.2011, 18:54 |
idler_ |
20.12.2011, 17:35
Сообщение
#5
|
Лентяй Группа: Администраторы Braingames Сообщений: 8 665 Регистрация: 22.4.2007 Пользователь №: 211 |
Вполне возможно, что вскрыв конверт, мы обнаружим в нём актуализированную бесконечность Вскрыв конверт, мы обнаружим вполне фиксированную сумму. А вот если ты будешь говорить о серии испытаний, с неограниченно возрастающими суммами в конвертах, то уже можно об этом подумать... -------------------- Я - человек-простой
|
snav |
20.12.2011, 17:50
Сообщение
#6
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Вскрыв конверт, мы обнаружим вполне фиксированную сумму. Мне кажется, что в данной задаче "фиксированную" - не значит конечную. А вот если ты будешь говорить о серии испытаний, с неограниченно возрастающими суммами в конвертах, то уже можно об этом подумать... Нет, речь не об этом. Речь об одном испытании. |
nik_vic |
20.12.2011, 18:41
Сообщение
#7
|
Активный участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 753 Регистрация: 22.1.2008 Пользователь №: 6 125 |
Пока не видел возражений, что "парадокс" заключается в подмене понятия "выгодности" неравенством матожиданий для двух стратегий.
Ну, да, стратегия "меняй конверт" увеличивает матожидание, но причём здесь выгодность???? Например, в первом конверте видим 1000р. и до смерти хочется дозу - а она стоит 900р. Менять - чревато. И иначе - если видим только 500р. Тут уж надо рискнуть... -------------------- Где это видано?
|
Упрощённая версия | Сейчас: 27.6.2024, 3:02 |