Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )
Публикующим:
1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
- создав для нее отдельную тему с информативным названием;
- добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.
Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
snav |
23.11.2009, 15:09
Сообщение
#1
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.
Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег? Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи. Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд. Вопрос: где ошибка в рассуждениях? Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях. --------------------------------------------------- P.S. Рекомендую также прочитать: Уточненная формулировка парадокса Парадокс с известным распределением (сообщение #9). Предполагаемые решения парадокса: Однократная игра с неизвестным распределением Однократная игра с известным распределением Многократная игра с известным распределением Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05 |
John777 |
14.12.2009, 1:00
Сообщение
#2
|
Kорифей Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 672 Регистрация: 13.11.2008 Из: Москва Пользователь №: 10 702 |
ars, у вас получилось, что нужно брать конверт, который мы выбрали изначально, но это тоже противоречит симметричности (это такой же "абсурд"). Должно получится (в теории), что матожидание денег в другом конверте равно кол-ву денег в открытом конверте.
-------------------- |
ars |
14.12.2009, 13:48
Сообщение
#3
|
Новичок Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 19 Регистрация: 13.9.2007 Пользователь №: 3 361 |
Вот хотел обосновать свой предыдущий пост, но решил проверить его на разных отношениях денег в конвертах (х2, х3, х4 и т.д.) - оказалось, что матожидание растет по формуле (n-1)^2 / 2n , где n - отношение денег в конвертах. Таким образом для n>=4 будет происходить аналогично: матожидание второго конверта будет больше суммы в первом конверте. Для варианта рассчета из примера (условия) рост начнется с n>=2, т.к. в этом случае получается 1+n^2 / 2n .
Получается, что оба варианта рано или поздно приводят к "абсурду" Так как при подсчетах используются лишь значения вероятностей и предполагаемые суммы во втором конверте (причем последние фиксированы относительно денег в первом), то закрался вопрос: а законно ли утверждать, что вероятности равны 1/2 и 1/2. Подобный вопрос уже поднимался, но в немного другой интерпретации. Вспомним, что такое "вероятность события A" - это количество исходов, благоприятствующих событию А к общему числу возможных исходов. Предмет теории вероятностей - выявление закономерных связей между условиями S и событием А, наступление или ненаступление которого при условиях S может быть точно установлено. Так вот к чему я: так как деньги уже лежат в конвертах до начала испытаний (наших выборов), то наши шансы найти либо бОльшую, либо меньшую сумму будут равны 0 и 1 Ведь от нашего выбора зависит только сумма выигрыша, а не то сколько денег окажется во втором конверте. Рассмотрим пример: в первом конверте Х денег, во втором - 2Х. Мы выбрали второй конверт. Вероятность того, что в первом окажется 4Х равна 0 (ну нет их там ), а того что там Х - равна 1. Т.е. условие S - это как разложили деньги в конверты, а не какой из конвертов мы выбрали. Т.е. при вышеизложенной ситуации: матожидание выигрыша составляет 4X*0+X*1=X. Но это верно только для стороннего наблюдателя (который знает как лежат деньги в конвертах), мы же, не зная, как вероятности соотносятся с суммами выигрышей такие рассуждения применить не можем. Грубо говоря, аппарат теории вероятностей здесь вообще не поможет. Ибо согласно ему, при первом выборе у нас с вероятностью 1/2 попадается конверт с меньшей суммой и аналогично с бОльшей. Вскрытие/невскрытие конверта никакой дополнительной полезной информации не дает. И при смене выбора мы по сути выполняем процедуру, аналогичную первому выбору. Даже если мы проведем ряд экспериментов и выясним частоту максимального выигрыша при смене конверта, то мы все-равно не сможем этим воспользоваться, так как нам все равно будет неизвестно, какой конверт мы выбрали первым (с большей суммой или меньшей). Надеюсь понятно изложил -------------------- Нас никому не сбить с пути - нам пофигу куда идти!
|
Упрощённая версия | Сейчас: 29.5.2024, 4:22 |