Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )
Публикующим:
1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
- создав для нее отдельную тему с информативным названием;
- добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.
Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
snav |
23.11.2009, 15:09
Сообщение
#1
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.
Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег? Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи. Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд. Вопрос: где ошибка в рассуждениях? Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях. --------------------------------------------------- P.S. Рекомендую также прочитать: Уточненная формулировка парадокса Парадокс с известным распределением (сообщение #9). Предполагаемые решения парадокса: Однократная игра с неизвестным распределением Однократная игра с известным распределением Многократная игра с известным распределением Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05 |
John777 |
24.11.2009, 16:59
Сообщение
#2
|
Kорифей Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 672 Регистрация: 13.11.2008 Из: Москва Пользователь №: 10 702 |
Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обоих случаях (меняя и не меняя конверт) стремится к бесконечности. И даже средний выйгрыш за одно испытание в обоих случаях стремится к бесконечности. Так как определить что лучше?
-------------------- |
snav |
24.11.2009, 17:58
Сообщение
#3
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Если кол-во испытаний бесконечно, то выйгрыш в обоих случаях (меняя и не меняя конверт) стремится к бесконечности. И даже средний выйгрыш за одно испытание в обоих случаях стремится к бесконечности. Так как определить что лучше? Ну вы опять говорите про априорное матожидание, а парадокс - про апостериорное. Априорное матожидание тут действительно равно бесконечности. Но как только открыт первый конверт, бесконечность испаряется и мы уже имеем дело с конкретным конечным числом. И тут теория принятия решений предлагает действовать исходя из критерия максимума апостериорного матожидания, которое в обоих случаях конечно. В итоге мы получаем на руки какую-то конечную сумму, т.е. проблем с бесконечностью вроде бы не возникает. |
John777 |
24.11.2009, 18:38
Сообщение
#4
|
Kорифей Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 672 Регистрация: 13.11.2008 Из: Москва Пользователь №: 10 702 |
Ну вы опять говорите про априорное матожидание, а парадокс - про апостериорное. Априорное матожидание тут действительно равно бесконечности. Но как только открыт первый конверт, бесконечность испаряется и мы уже имеем дело с конкретным конечным числом. И тут теория принятия решений предлагает действовать исходя из критерия максимума апостериорного матожидания, которое в обоих случаях конечно. В итоге мы получаем на руки какую-то конечную сумму, т.е. проблем с бесконечностью вроде бы не возникает. Не понял. Пусть у нас есть какая-то стратегия (зависящая от увиденного в открытом конверте). Проведем n ее испытаний. Просуммируем доход и поделим его на n. Получим средний выйгрыш. Устремляя n к бесконечности получим, что в нашем случае средний выйгрыш стремится к бесконечности при любой стратегии. Так как тогда определить какая стратегия лучше? -------------------- |
snav |
24.11.2009, 19:28
Сообщение
#5
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Пусть у нас есть какая-то стратегия (зависящая от увиденного в открытом конверте). Проведем n ее испытаний. Просуммируем доход и поделим его на n. Получим средний выйгрыш. Устремляя n к бесконечности получим, что в нашем случае средний выйгрыш стремится к бесконечности при любой стратегии. Так как тогда определить какая стратегия лучше? Вы меня сильно озадачили. Но корректно ли так сравнивать эффективность стратегий? Давайте попробуем применить ваши рассуждения к другой игре. Допустим, вам предлагают выбрать: 1 или 100 рублей. Разумеется, вы выберете большую сумму. Преимущество данной стратегии очевидно, и это полностью согласуется с теорией принятия решений. Играем во второй раз, теперь вам предлагают 2 или 200 рублей. Вы опять берете большую сумму. И так далее... В n-й игре вы выбираете между n и 100*n... Теперь попробуем проверить эффективность нашей стратегии (брать большую денежку) по вашей методике. Получаем, что при n стремящемся к бесконечности средний выигрыш при любой стратегии также стремится к бесконечности. Несмотря на это стратегия "брать большую из двух сумм" явно предпочтительнее, чем брать меньшую сумму... |
John777 |
24.11.2009, 19:39
Сообщение
#6
|
Kорифей Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 1 672 Регистрация: 13.11.2008 Из: Москва Пользователь №: 10 702 |
Вы меня сильно озадачили. Но корректно ли так сравнивать эффективность стратегий? Давайте попробуем применить ваши рассуждения к другой игре. Допустим, вам предлагают выбрать: 1 или 100 рублей. Разумеется, вы выберете большую сумму. Преимущество данной стратегии очевидно, и это полностью согласуется с теорией принятия решений. Играем во второй раз, теперь вам предлагают 2 или 200 рублей. Вы опять берете большую сумму. И так далее... В n-й игре вы выбираете между n и 100*n... Теперь попробуем проверить эффективность нашей стратегии (брать большую денежку) по вашей методике. Получаем, что при n стремящемся к бесконечности средний выигрыш при любой стратегии также стремится к бесконечности. Несмотря на это стратегия "брать большую из двух сумм" явно предпочтительнее, чем брать меньшую сумму... Здесь условия испытания зависят от номера испытания n, а у меня все испытания одинаковые. Если здесь во всех испытаниях давать выбрать из 1 или 100, то средний выйгрыш будет 100 в нашей стратегии. -------------------- |
Упрощённая версия | Сейчас: 8.6.2024, 11:30 |