Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
Добро пожаловать, гость ( Вход | Регистрация )
Публикующим:
1. Задачу можно опубликовать двумя способами:
- создав для нее отдельную тему с информативным названием;
- добавив задачу в готовый сборник (например «Бескрылки», «Мини-задачи», «Вопросы ЧГК») или создав свой (например, «Загадки от /для Светы»).
2. Если вы публикуете задачу, решение которой не знаете, напишите об этом. По умолчанию считается, что вам известен правильный ответ и вы готовы проверять других игроков.
Решающим:
1. В темах запрещается писать ответы и подсказки, если возможность открытого обсуждения не оговорена отдельно (в случае открытого обсуждения для текста следует использовать цвет фона или белый, оставляя другим игрокам возможность самостоятельного решения).
2. Правильность решения можно проверить, написав личное сообщение автору.
Парадокс двух конвертов, теория вероятностей |
snav |
23.11.2009, 15:09
Сообщение
#1
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Приглашаю любителей математики обсудить один любопытный парадокс.
Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, разумеется, нельзя). Вы знаете, что в одном из конвертов сумма ровно в два раза больше, чем в другом, однако в каком и какие именно суммы — неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и пересчитать в нём деньги. После чего вы должны выбрать: взять себе этот конверт или обменять его на второй (уже не глядя). Вопрос: как вам поступить, чтобы получить большую сумму денег? Предположим, мы увидели в одном из конвертов 4$. Стало быть, в другом конверте лежат либо 8$, либо 2$ с вероятностью 50х50. По теории вероятностей математическое ожидание денег во втором конверте: 1/2*8 + 1/2*2 = 5$. То есть, изменив свой выбор, мы в среднем получим 5$, а взяв первый конверт — только 4$. Значит, разумнее выбирать именно второй конверт. Но это противоречит интуитивной симметрии задачи. Самое удивительное, что приведенные рассуждения можно применить для любой суммы X, обнаруженной в первом конверте. Получается, что независимо от обнаруженной суммы выбор следует изменять в любом случае, т.е. можно даже не заглядывать в первый конверт. Но это явный абсурд. Вопрос: где ошибка в рассуждениях? Обратите внимание, вопрос стоит не о том, как правильно решить задачу выбора конверта. Вопрос стоит о том, где ошибка в приведенных в рассуждениях. --------------------------------------------------- P.S. Рекомендую также прочитать: Уточненная формулировка парадокса Парадокс с известным распределением (сообщение #9). Предполагаемые решения парадокса: Однократная игра с неизвестным распределением Однократная игра с известным распределением Многократная игра с известным распределением Сообщение было отредактировано snav: 26.9.2015, 7:05 |
tatunya |
24.11.2009, 14:56
Сообщение
#2
|
Участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 225 Регистрация: 4.9.2008 Пользователь №: 9 774 |
Допустим, известно априорное распределение денег в конвертах: - с вероятностью 1/2 кладем в конверты 1 и 10 долларов, - с вероятностью 1/4 кладем в конверты 10 и 100 долларов, ... - с вероятностью 1/2^n кладем в конверты 10^(n-1) и 10^n долларов. Это вполне законное распределение! Сумма вероятностей равна 1. Теперь пусть в первом конверте оказалось 10^n денег, где n>0. Вероятность того, что в другом конверте больше денег, в два раза меньше, чем вероятность того, что в другом конверте меньше денег. То есть с вероятностью 2/3 там 10^(n-1) долларов и с вероятностью 1/3 там 10^(n+1) долларов. Следовательно, матожидание выигрыша при обмене больше 0. Но тут не используется вероятность самого события найти 10^n в конверте. А как я поняла из предыдущих постов, принцип выбора по матожиданию работает только при возможности проведения большого количества экспериментов и матожидание надо записывать в такой форме, чтобы его можно было использовать для большого числа экспериментов. Матожидание выигрыша при замене конверта можно записать в виде sum_{i=0}^{+infinity} 1/2^i (1/2 (10^i-10^{i-1})+1/2(10^i-10^{i-1}))=0. |
snav |
24.11.2009, 15:10
Сообщение
#3
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Но тут не используется вероятность самого события найти 10^n в конверте. Это событие уже произошло. Его вероятность равна 1. А как я поняла из предыдущих постов, принцип выбора по матожиданию работает только при возможности проведения большого количества экспериментов Необязательно. Можно и при одном опыте. и матожидание надо записывать в такой форме, чтобы его можно было использовать для большого числа экспериментов. Матожидание выигрыша при замене конверта можно записать в виде sum_{i=0}^{+infinity} 1/2^i (1/2 (10^i-10^{i-1})+1/2(10^i-10^{i-1}))=0. А тут я ничего не понял... |
tatunya |
24.11.2009, 15:22
Сообщение
#4
|
Участник Группа: Пользователи Braingames Сообщений: 225 Регистрация: 4.9.2008 Пользователь №: 9 774 |
Это событие уже произошло. Его вероятность равна 1. Необязательно. Можно и при одном опыте. А тут я ничего не понял... Допустим, известно распределение денег в конвертах: - с вероятностью 1/1000 кладем в конверты 1 и 100000 долларов, - с вероятностью 1/1000^2 кладем в конверты 100000 и 100000^2 долларов, ... - с вероятностью 1/1000^n кладем в конверты 100000^(n-1) и 100000^n долларов. посчитаем матожидание выигрыша при замене конверта не открывая конверта sum_{i=0}^{+infinity} 1/2^i (1/2 (10^i-10^{i-1})+1/2(10^{i-1}-10^i))=0 (запись сама по себе понятна?) если же мы открываем конверт и видим 100000, пусть в данном конкретном случае матожидание выигрыша при обмене конверта положительно, но вероятность выигрыша очень мала; и лично для меня большой вопрос можно ли тут использовать принцип принятия решения по матожиданию; |
snav |
24.11.2009, 15:34
Сообщение
#5
|
Kорифей Группа: Модераторы Сообщений: 4 135 Регистрация: 13.4.2008 Из: Россия Пользователь №: 7 457 |
Допустим, известно распределение денег в конвертах: - с вероятностью 1/1000 кладем в конверты 1 и 100000 долларов, - с вероятностью 1/1000^2 кладем в конверты 100000 и 100000^2 долларов, ... - с вероятностью 1/1000^n кладем в конверты 100000^(n-1) и 100000^n долларов. Такое распределение некорректно. У вас сумма вероятностей не равна 1. посчитаем матожидание выигрыша при замене конверта не открывая конверта Я уже писал выше, что априорное матожидание нам неинтересно. Парадокс возникает именно с апостериорным матожиданием. если же мы открываем конверт и видим 100000, пусть в данном конкретном случае матожидание выигрыша при обмене конверта положительно, но вероятность выигрыша очень мала; и лично для меня большой вопрос можно ли тут использовать принцип принятия решения по матожиданию; Мы решаем математический парадокс. Здесь не нужно отвлекаться на психологию и другие подобные вопросы, которые не относятся к сути дела. |
Упрощённая версия | Сейчас: 14.6.2024, 15:17 |