Куда движется математика?, Онтология и теория познания математики Опции

[JK]

Математика, как наука, за всю историю своего развития успешно преодолела два кризиса (античный, связанный с открытием несоизмеримых отрезков и нового времени, связанный с обоснованием математического анализа).
Сейчас математика пребывает в 3-м кризисе, который связан тремя основными моментами:
1) парадоксами теории множеств;
2) теоремой Курта Гёделя о неполноте;
3) переусложнённостью современных доказательств и использованием в них компьютера.

Что ждет математику в будущем? Сохранит ли она свой уникальной статус строгой науки? Или её следует «рассматривать лишь как произведение ограниченного человеческого ума, подверженного ошибкам и заблуждениям, как все другие человеческие начинания, к которым мы проявляем больше снисходительности»?
Об этом статья проф. лондонского королевского колледжа Брайана Дэвиса http://elementy.ru/lib/164681/164682.

Прошу всех кому интересна тема делиться мыслями. Важно ли это для вас? Ваш личный прогноз? :-) Отразится ли кризис на прикладном аспекте математики?
Нелюбителям длинных текстов и носителям клипового сознания – сочувствую, но ничем помочь не могу :-)

[BuPTy03]

2) Математика, как наука, возникла спустя десятки тысяч лет, после того как у древнего человека в 1 раз возникло желание/ необходимость что-то посчитать или померить, возникла в тот момент, когда появилось желание ДОКАЗЫВАТЬ высказываемые утверждения. Огромные временной разрыв между появившейся практической потребностью и появлением науки.

http://ru.wikipedia.org/wiki/История_математики
Не нужно десятков тысяч лет, чтобы показать один или несколько пальцев для конкретизации запроса. Рождением математики можно считать появление счёта. А согласно представленной выше ссылке, он появился аж в верхнем палеолите.
Когда появилось желание ДОКАЗЫВАТЬ высказываемые утверждения - вот тогда появилась уже логика, основанная, кстати, на математике )

что такое «движение по пути необходимости» имеется в виду движение под воздействием внешних обстоятельств (иногда непреодолимой силы)? На мой взгляд, лучше просто говорить «развитие». Ибо причин этого развития у науки (как и у искусства) множество.

Нет, "движение по пути необходимости" и "развитие" - это две большие разницы
Развитие предполагает любой труд, направленный на оттачивание навыков/знаний, пусть даже эти знания тебе не нужны. Например развитие жонглёрских талантов - едва ли кому нужно, но это развитие.
А движение по пути необходимости - это безальтернативное развитие, необходимое в данной ситуации. Пример: небогатый (т. е. не имеющий возможности постоянно питаться в ресторанах) холостяк вынужден научиться готовить.

По пути любопытства могут идти отдельные математики. Наука бесстрастна :-).

Могут-то идти и отдельные. Но идут-то все

Лобачевский создал свою «воображаемую геометрию» не имея практической нужды в ней. Буквально полюбопытствовав, а что будет, если заменить 5 аксиому Евклида? И в отличие от Гаусса (скрывшего свои открытия в этой области) он публиковал работы по ней, выдержав насмешки и все прочие «прелести» реакции непонимающей публики.
Практическое применение геометрии Лобачевского (в теории относительности и др.) нашлось лишь спустя 100 лет после её создания. А могло бы не найтись.

По-ве-зло
Могло бы и не найтись, да. И таких примеров наверняка ещё больше )
Если бы Лобачевский в своё время не публиковал такой работы, то она бы всё равно появилась, пусть хоть спустя 150 лет, следуя пути необходимости
Придумал более изящную аналогию для пути любопытства и необходимости: это как искусственная и естественная мутация. Естественная точно пригодится, а искусственная может и пригодится, но скорее всего нет )

[JK]

Не нужно десятков тысяч лет, чтобы показать один или несколько пальцев для конкретизации запроса. Рождением математики можно считать появление счёта. А согласно представленной выше ссылке, он появился аж в верхнем палеолите.
Когда появилось желание ДОКАЗЫВАТЬ высказываемые утверждения - вот тогда появилась уже логика, основанная, кстати, на математике )

Повторяю, математика, как наука, появилась с появлением доказательства.
Показать три пальца для обозначения трех бизонов -- это не наука. Хотя существа, которые это делали, по интеллекту были выше, чем бизоны. То, о чем вы говорите, в истории математики принято называть «протоматематикой»; от древних греков (введших сам термин «mathematike») до создания теории пределов – элементарной, от дифф.исчисления до наших дней – современной.
При этом само понятие «доказательства» является для математики внешним (в её рамках неопределяемым понятием, как точка, прямая, число и т.д.).
Логика (наука о способах доказательств) не основана на математике. Другое дело, что она нашла применение в математике. А ныне проросла там настолько, что вы уже её не отделяете от математики.

P.S. Был сюжет в Ералаша «Как произошел язык». Суть: древний человек, одетый в шкуры, обучает группу ребятишек (также одетых в шкуры), которые сидят за камнями (как за партами). Общаются они гугуканием и жестами. Один из учеников что-то подкладывает учителю и происходит взрыв. Когда дым рассеивается, чумазый и взлохмаченный учитель (его играет Ярмольник) на чистом русском языке, с чувством произносит: «Сидоров, после уроков явиться к директору!» :-) ничего не напоминает?