Куда движется математика?, Онтология и теория познания математики Опции

[JK]

Математика, как наука, за всю историю своего развития успешно преодолела два кризиса (античный, связанный с открытием несоизмеримых отрезков и нового времени, связанный с обоснованием математического анализа).
Сейчас математика пребывает в 3-м кризисе, который связан тремя основными моментами:
1) парадоксами теории множеств;
2) теоремой Курта Гёделя о неполноте;
3) переусложнённостью современных доказательств и использованием в них компьютера.

Что ждет математику в будущем? Сохранит ли она свой уникальной статус строгой науки? Или её следует «рассматривать лишь как произведение ограниченного человеческого ума, подверженного ошибкам и заблуждениям, как все другие человеческие начинания, к которым мы проявляем больше снисходительности»?
Об этом статья проф. лондонского королевского колледжа Брайана Дэвиса http://elementy.ru/lib/164681/164682.

Прошу всех кому интересна тема делиться мыслями. Важно ли это для вас? Ваш личный прогноз? :-) Отразится ли кризис на прикладном аспекте математики?
Нелюбителям длинных текстов и носителям клипового сознания – сочувствую, но ничем помочь не могу :-)

[alan]

Что ждет математику в будущем? Сохранит ли она свой уникальной статус строгой науки? Или её следует «рассматривать лишь как произведение ограниченного человеческого ума, подверженного ошибкам и заблуждениям, как все другие человеческие начинания, к которым мы проявляем больше снисходительности»?

Почему уникальный? Разве только математика считается строгой наукой?
А математика в любом случаеть есть "произведением ограниченного человеческого ума, подверженного ошибкам и заблуждениям" . Другое дело, что полезно верить в то на, чем ты основываешься, так как в 100-ый раз проверять действительно работает велосипед черезчур времязатратно.

Нелюбителям длинных текстов и носителям клипового сознания – сочувствую, но ничем помочь не могу :-)

Спасибо.

[JK]

Да, статус математических доказательств - уникален (во всяком случае до недавнего времени был таковым). В любой др. науке одного док-ва мало, нужно как можно больше подтвеждений. И всякий новый факт, несогласующийся со старой теорией, работает на перетряхивание научной парадигмы (физика, химия, биология, история, экономика и т.д.).
В математике довольно одного док-ва. Мы пользуемся теоремами, которым 2 тыс. лет. Меняются обозначения, совершенствуется язык, устраняются "ляпы", но "Начала Евклида" актуальны и по сей день.

[alan]

Да, статус математических доказательств - уникален (во всяком случае до недавнего времени был таковым). В любой др. науке одного док-ва мало, нужно как можно больше подтвеждений. И всякий новый факт, несогласующийся со старой теорией, работает на перетряхивание научной парадигмы (физика, химия, биология, история, экономика и т.д.).
В математике довольно одного док-ва. Мы пользуемся теоремами, которым 2 тыс. лет. Меняются обозначения, совершенствуется язык, устраняются "ляпы", но "Начала Евклида" актуальны и по сей день.

Ну просто изначальные постулаты и аксиомы более нерушимые. Тоесть качественной уникальности в математике нет, о чем и говорят эти ее проблемы. Уникальность разве что в количестве - в намного меньшей вероятности "упасть".

И видимо сейчас дело как раз в том, что математика переходит из более менее очевидной сферы (в которой действительно получалось сделать надежные аксиомы, соответствующие реальности) в более сложную сферу, в которой наше интуитивное представление может легко оказаться неверным. В результате и создаются здания, которые потом приходится рушить.
Так что при переходе ко все более странным и новым видам зданий прийдется смериться с увеличением частоты неудач.

В физике, например, просто этот этап начался раньше. Все же математика в нашей голове, а физика в окружающем мире. И "голову" свою мы знаем лучше.
С биологией еще сложнее.
Или что там можно причислять к точным наукам... не знаю..

[JK]

Ну просто изначальные постулаты и аксиомы более нерушимые. Тоесть качественной уникальности в математике нет, о чем и говорят эти ее проблемы. Уникальность разве что в количестве - в намного меньшей вероятности "упасть".

Любой набор непротиворечивых аксиом будет (в силу теоремы Гёделя) неполным. Но, тем не менее, нерушимым. Речь идет именно о качестве. Упасть - нельзя, можно не добраться до вершины. Иначе -- это не математика.
Неполнота означает, что найдутся высказывания, которые в рамках данной аксиоматики нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть.

В физике, например, просто этот этап начался раньше. Все же математика в нашей голове, а физика в окружающем мире. И "голову" свою мы знаем лучше.

История физики - это история сменяющих др. друга парадигм. Математика лишь надстраивала следующие, более высокие этажи и делала косметический ремонт на нижних. :-)

Насчёт того, что голову мы знаем лучше.....
Предмет физики хотя бы "руками потрогать" можно, хотя бы понаблюдать, а математика занята выдуманными, воображаемыми конструкциями, которые, бог знает почему, годятся в качестве моделей рельных процессов и объектов.
Но самой математике до прикладных аспектов, вообще говоря, нет никакого дела. Она чудесно могла бы существовать и без них (но не наоборот).