Комбинаторика Опции

[alek.zander]

Помогите найти грабли.
Банальная задача.
Имеется 3 девочки и 9 мальчиков, сколько способов выбрать команду из 4 человек, содержащую хотя бы 1 девочку?
Решаю двумя способами, получаю один и тот же ответ.
Или смотрю на команды, где 1, 2 или 3 девочки и добиваю их мальчиками. Три слагаемых, 252, 108 и 9, сумма 369.
Или смотрю сколько всего команд и вычитаю чисто мальчишеские. 495 - 126. Разность 369.

Но тут на сцену выступает учитель математики и говорит: выберем заведомо одну девочку, это 3 способа, а остальные места добьём любыми тремя из оставшихся 11. И у него получается 495.

Я подозреваю, что он какие-то варианты посчитал дважды, но ошибку найти не могу.
Мозга клина хватил.
Поможьте, ежели не трудно.

[Megatron]

Назовем девочек Маша, Алена и Кристина. Если выбрать Машу и добавлять к ней троих, мы насчитаем 165 команд. Это верно. Если выбрать Алену и добавлять троих, мы также насчитаем 165. Но вот проблема: команды, в которых есть Маша и Алена одновременно, мы посчитаем дважды.

Сколько лишних команд и почему так? На этот вопрос отвечает вывод формулы включений-исключений.

[alek.zander]

вывод формулы включений-исключений.

А поделитесь выводом, если не жалко.
А то простые способы у меня получаются, аж две штуки, а вот такой заковыристый как-то не осилить.

[Kurush]

А поделитесь выводом, если не жалко.
А то простые способы у меня получаются, аж две штуки, а вот такой заковыристый как-то не осилить.

Я же Вам написал решение через него. Нарисуйте три круга - Маша, Алёна, Кристина - таким образом, чтобы они пересекались каждый с каждым, а также имели общее пересечение. Ваш учитель взял сумму трёх кругов. При этом по два раза посчитал пересечения МА, АК, МК и три раза пересечение МАК. Поэтому мы вычитаем все пересечения из двух элементов. При этом мы избавились от повторов в командах с двумя девочками, но не учли команды с тремя девочками. Их нужно добавить. Итого: 3 * C(11, 3) - 3 * С(10, 2) + 9 = 369