Сколько раз крутим?, Покер Опции

[UNDEFEAT]

В основном обращаюсь к тем, кто знаком хотя бы с базовыми правилами, например, Texas Hold'em.

Пусть в не турнирной игре на некоторой улице (pre-flop, flop, turn - не важно) два игрока пошли all-in и они остались в банке вдвоём. Обычно после этого сдают недостающие карты на доске (5, 2 и 1 соответственно), а банк достаётся победителю, ну или происходит делёжка, если ничья.

Но игроки имеют возможность по общему согласию сдать недостающие на доске карты несколько раз. Например, если они выставились на тёрне, и договорились "крутить дважды", то им сдадут два ривера. Банк поделят пополам, и каждая половина будет разыграна в соответствии с первым и вторым ривером. Таким образом, игроки могут уменьшить дисперсию своего выигрыша, и уменьшить вероятность полностью проиграть этот крупный банк.

Я считаю (безосновательно), что какой бы не был расклад, и о каком количестве "прокрутов" не договорились бы игроки, их матожидания абсолютно не меняются. Это только уменьшает дисперсию - тем больше, чем больше прокрутов.

Внимание, вопросы:
1) Слышал ли кто-нибудь, что кто-то это строго доказал?
2) Может, кто-то знает простое доказательство этого утверждения, или хотя бы его упрощённой версии?
3) Или, возможно, кто-то сможет найти контрпример к моему утверждению.

Я проверил своё предположения в простой модели выставления на флопе и договорённости о двух тёрнах и риверах, когда первый игрок усилиться уже не может, а второй:
1) Имеет 2 runner-runner аута. Есть две карты в колоде такие, что он выиграет тогда и только тогда, когда придут обе эти карты.
2) Имеет k "железных" аутов - такие карты, что он выиграет тогда и только тогда, когда придёт хотя бы одна из этих k карт.

Честное выписывание всех вероятностей показывает, что матожидания с 1 и 2 прокрутами равны.

Буду благодарен всем за мысли по этому поводу.
_______________________________________________________

...из симметрии получается, что матожидание на каждом из N run'ов одинаково и равно 1/N от общего матожидания.
Раз матожидание суммы равно сумме матожиданий даже для зависимых случайных величин, получается, что общее матожидание всегда одинаково. Проблема решена.

Сообщение было отредактировано UNDEFEAT: 19.3.2019, 16:10

[Breghnev]

Пусть в не турнирной игре на некоторой улице (pre-flop, flop, turn - не важно) два игрока пошли all-in и они остались в банке вдвоём. Обычно после этого сдают недостающие карты на доске (5, 2 и 1 соответственно), а банк достаётся победителю, ну или происходит делёжка, если ничья.

Любопытным образом вы изобрели правила, по которым играют уже довольно давно. Я с начала двухтысячных интересуюсь Техасским Холдемом, а игру по таким правилам впервые встретил несколько лет назад на экранах ТВ. Действительно, чтобы снизить элемент случайности и повысить устойчивость сильных игроков (чтобы к победе в конечном итоге приводило в большей степени умение и в меньшей - везение) подобные правила были введены на самом высоком уровне. Полагаю, сам этот факт уже является косвенным свидетельством справедливости игры - симметричности позиций игроков и неизменности матожидания по сравнению с классической раздачей.
Я тоже быстро посчитал некоторые варианты (правда, только с ривером) и не нашёл причины усомниться в неизменности МО.
При желании можно легко поменять форму задачи и свести её, скажем, к задаче о разноцветных шарах. Как вы справедливо заметили, вероятности в Холдеме считаются через ауты. Аут - карта в колоде, приход которой усилит руку игрока. Если рассматривать ривер, то аут - карта, которая позволит выиграть. Тогда игру ва-банк на ривере для двух игроков можно представить как вынимание шаров трёх цветов (если рассматривать ещё и вариант с ничейным исходом) из корзины. Тогда пусть у нас в корзине находится определённое количество шаров (пусть будет 40, потому что примерно столько карт остаётся в колоде к риверу) трёх разных цветов. Есть банк (пусть 1000 рублей), который мы делим на какое-то количество частей (от 1 до 40). Достаём шары по одному, при чём достаём столько шаров, на сколько частей разделен банк. Считаем количество шаров разных цветов. Каждый игрок получает такое количество долей банка, сколько шаров его цвета достали. Доли банка, приходящиеся на ничейные шары, игроки делят пополам. Можно варьировать количества шаров разных цветов, и для каждой заданной конфигурации при любом количестве "выниманий" ожидается, что матожидания игроков будут одинаковы. С матчастью у меня не очень хорошо, за расчёты и доказательства не возьмусь. Но есть ощущение, что здесь всё должно быть довольно просто.