Сколько раз крутим?, Покер Опции

[UNDEFEAT]

В основном обращаюсь к тем, кто знаком хотя бы с базовыми правилами, например, Texas Hold'em.

Пусть в не турнирной игре на некоторой улице (pre-flop, flop, turn - не важно) два игрока пошли all-in и они остались в банке вдвоём. Обычно после этого сдают недостающие карты на доске (5, 2 и 1 соответственно), а банк достаётся победителю, ну или происходит делёжка, если ничья.

Но игроки имеют возможность по общему согласию сдать недостающие на доске карты несколько раз. Например, если они выставились на тёрне, и договорились "крутить дважды", то им сдадут два ривера. Банк поделят пополам, и каждая половина будет разыграна в соответствии с первым и вторым ривером. Таким образом, игроки могут уменьшить дисперсию своего выигрыша, и уменьшить вероятность полностью проиграть этот крупный банк.

Я считаю (безосновательно), что какой бы не был расклад, и о каком количестве "прокрутов" не договорились бы игроки, их матожидания абсолютно не меняются. Это только уменьшает дисперсию - тем больше, чем больше прокрутов.

Внимание, вопросы:
1) Слышал ли кто-нибудь, что кто-то это строго доказал?
2) Может, кто-то знает простое доказательство этого утверждения, или хотя бы его упрощённой версии?
3) Или, возможно, кто-то сможет найти контрпример к моему утверждению.

Я проверил своё предположения в простой модели выставления на флопе и договорённости о двух тёрнах и риверах, когда первый игрок усилиться уже не может, а второй:
1) Имеет 2 runner-runner аута. Есть две карты в колоде такие, что он выиграет тогда и только тогда, когда придут обе эти карты.
2) Имеет k "железных" аутов - такие карты, что он выиграет тогда и только тогда, когда придёт хотя бы одна из этих k карт.

Честное выписывание всех вероятностей показывает, что матожидания с 1 и 2 прокрутами равны.

Буду благодарен всем за мысли по этому поводу.
_______________________________________________________

...из симметрии получается, что матожидание на каждом из N run'ов одинаково и равно 1/N от общего матожидания.
Раз матожидание суммы равно сумме матожиданий даже для зависимых случайных величин, получается, что общее матожидание всегда одинаково. Проблема решена.

Сообщение было отредактировано UNDEFEAT: 19.3.2019, 16:10

[BAS14]

Если после каждого прокрута карты, выпавшие в нем, возвращать в колоду, то матожидание не изменяется. Это достаточно очевидно - если при одном прокруте матожидание М, а дисперсия D, то при договоренности на n прокрутов каждый из них будет иметь матожидание M/n и дисперсию D/n^2 (ведь банк в n раз меньше) и в итоге (т.к. все n прокрутов независимы) получится матожидание M и дисперсия D/n. Т.е. действительно просто снижается дисперсия при неизменном матожидании.
Но в реальной игре карты в колоду не возвращают, в этом случае все намного сложнее, сходу не понятно, как сосчитать, возможно даже в каждой ситуации по-разному будет.