(-1)^(2/4) Опции

[SlvBuz]

Я уже давно закончил школу и институт, кое что подзабыл.
Вот сижу мучаюсь...
возник вопрос чему равно (-1)^(2/4) ?
вроде бы i
но с другой стороны это же корень четвертой степени из (-1)^2, то есть единица.
Помогите мне пож-та.

[netvoe]

Почему не упростить выражение до (-1)^(1/2) и не получить "i" ??
Кстати Гуголь-калькулятор такой ответ и выдает. Почему у кого то там вверху аж 4 корня ? А если я изменю дробь 2/4 на 2000/4000, будет 4000 корней ???

[fiviol]

Почему не упростить выражение до (-1)^(1/2) и не получить "i" ??
Кстати Гуголь-калькулятор такой ответ и выдает. Почему у кого то там вверху аж 4 корня ? А если я изменю дробь 2/4 на 2000/4000, будет 4000 корней ???

Сперва нужно дать определение, что такое z^(m/n) для комплексного z, и тогда считать корни, согласно с этим определением.

[BAS14]

Сперва нужно дать определение, что такое z^(m/n) для комплексного z, и тогда считать корни, согласно с этим определением.

А еще сперва нужно понять, что мы хотим определить. Тут 2 варианта:
1. Мы определяем функцию F(z;q) двух аргументов - комплексного z и рационального q. Тогда q по определению рационального числа должно быть представимо в виде m/n, где m - целое, n - натуральное, но сами значения m и n при этом не важны, и если F(-1;2/4) определена, то с необходимостью F(-1;1/2) тоже будет определена и принимать то же значение. Просто потому, что 2/4 и 1/2 - это одно и то же число - значение аргумента q.
2. Мы определяем функцию F(z;m;n) трех аргументов - комплексного z, целого m и натурального n. Тогда запросто может оказаться, что F(-1;2;4) не равно F(-1;1;2) либо одно из этих значений определено, а другое нет.
Степень - функция двух аргументов (основания и показателя), поэтому ее можно определить только по первому варианту. По второму варианту можно тоже определить какую-то функцию, но в качестве определения степени она не будет годиться. Можно, конечно, сказать, а почему нельзя расширить определение и придумать степень для трех аргументов? Ну вообще можно, но сам вид выражения (-1)^(2/4) говорит нам, что это некая функция двух аргументов -1 и 2/4, обозначенная знаком ^. Поэтому как ни определяй смысл этого выражения, но у выражения (-1)^(1/2) смысл будет тот же.

Не путайте теплое с пресным. Сокращение дроби - это вообще не арифметическое действие. Арифметическое действие - деление, оно как было до сокращения дроби, так и осталось.

Пока не дано определение, что такое дробная степень - все пустая болтовня. Точно так же можно сказать, что если бы там было ((-1)^(1/4))^2, то да, было бы 2 корня, а так 4. С той же мерой безответственности.

Да, в показателе результат деления. Но деление 2 на 4 дает такой же результат, что и деление 1 на 2. И в дальнейшем (при возведении в степень) мы используем только этот результат, и не важно, как он получился.
Если вы хотите, чтобы (-1)^(2/4) и (-1)^(1/2) было не одно и то же, вам нужно, чтобы 2/4 и 1/2 было не одно и то же. Т.е. вам прежде всего нужно альтернативное определение не степени, а деления.

Кстати, по поводу определений. Определение степени с произвольными комплексными основанием и показателем (единственный особый случай - нулевое основание) я встречал в разных источниках по сути одно - через комплексную экспоненту и логарифм. И принятые определения в частных случаях (например, при действительном положительном основании и действительном показателе) этому общему определению, в общем-то, не противоречат (единственный момент - что зачастую выбирается только одно значение многозначной функции, но это в комплексном анализе обычное дело). Поэтому определение степени можно считать не менее общепринятым, чем определение того же деления (особенно с учетом того, что с делением тоже не все так просто - существует деление обычное, целочисленное, с остатком... )

Сообщение было отредактировано BAS14: 31.10.2017, 23:52