Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате
Форум Игры разума [braingames] _ Разминка для мозгов _ Комбинаторика
Автор: alek.zander 18.6.2023, 15:48
Помогите найти грабли.
Банальная задача.
Имеется 3 девочки и 9 мальчиков, сколько способов выбрать команду из 4 человек, содержащую хотя бы 1 девочку?
Решаю двумя способами, получаю один и тот же ответ.
Или смотрю на команды, где 1, 2 или 3 девочки и добиваю их мальчиками. Три слагаемых, 252, 108 и 9, сумма 369.
Или смотрю сколько всего команд и вычитаю чисто мальчишеские. 495 - 126. Разность 369.
Но тут на сцену выступает учитель математики и говорит: выберем заведомо одну девочку, это 3 способа, а остальные места добьём любыми тремя из оставшихся 11. И у него получается 495.
Я подозреваю, что он какие-то варианты посчитал дважды, но ошибку найти не могу.
Мозга клина хватил.
Поможьте, ежели не трудно.
Автор: Sergey.Petrov.1972 18.6.2023, 16:02
Банальная задача.
Имеется 3 девочки и 9 мальчиков, сколько способов выбрать команду из 4 человек, содержащую хотя бы 1 девочку?
Решаю двумя способами, получаю один и тот же ответ.
Или смотрю на команды, где 1, 2 или 3 девочки и добиваю их мальчиками. Три слагаемых, 252, 108 и 9, сумма 369.
Или смотрю сколько всего команд и вычитаю чисто мальчишеские. 495 - 126. Разность 369.
Но тут на сцену выступает учитель математики и говорит: выберем заведомо одну девочку, это 3 способа, а остальные места добьём любыми тремя из оставшихся 11. И у него получается 495.
Я подозреваю, что он какие-то варианты посчитал дважды, но ошибку найти не могу.
Мозга клина хватил.
Поможьте, ежели не трудно.
"Поможьте" пишется "помогите", "ежели" - лучше писать "если". На выпендрёжные вопросы просто меньше хочется отвечать. А по существу вопроса: почему учитель РОВНО одну девочку добирает мальчиками, если в условии говорится про команды, содержащие ХОТЯ БЫ одну девочку.
Автор: Нихто 18.6.2023, 17:01
Ну здесь-то как раз логика верная. Потому что среди оставшихся 11 еще две девочки есть. И они могут попасть в команду.
Там другой вопрос, что для каждой девочки, которую мы выбираем первой - надо отдельно варианты считать.
Для первой девочки - добирать три из 11, для второй - три из 10 (первую девочку мы уже не учитываем, варианты с ней мы уже посчитали), для третьей - три из 9 (там уже одни мальчики останутся).
Автор: Kurush 18.6.2023, 17:45
У учителя неверное решение. Он должен был использовать формулу включений-исключений. Посчитал по два раза команды, в которых есть по две девочки. Там такой же ответ получится.
КОМАНДЫ, В КОТОРЫХ ЕСТЬ 1 ДЕВОЧКА - КОМАНДЫ, В КОТОРЫХ ЕСТЬ ДВЕ ДЕВОЧКИ + КОМАНДЫ, В КОТОРЫХ ЕСТЬ ТРИ ДЕВОЧКИ = 3 * C(11, 3) - 3 * С(10, 2) + 9 = 369
Автор: impas 18.6.2023, 18:56
Можно спросить у учителя, а сколько всего команд может быть, и если он посчитает 495, то сам и поищет ошибку у себя, а если нет, то проблема..
Автор: Нихто 19.6.2023, 12:52
Да считать можно как угодно. Главное, два раза не считать одно и то же.
То есть можно посчитать варианты, где РОВНО одна девочка, где РОВНО две и где три девочки. Потом всё сложить.
А проще всего посчитать все комбинации команд (4 из 12) и вычесть чисто мальчишеские (4 из 9).
Автор: alek.zander 19.6.2023, 13:28
Как надо считать, я и сам знаю. Аж два способа. Уважаемый Нихто их ещё раз переписал.
Что команд всего 495, и посему команд с девочками не может быть 495, понятно всем (кроме учителя).
Ответ в стиле этого сайта "в ваших рассуждениях имеется ошибка" я и сам могу дать.
Вопрос поставлен конкретно: вот в этих вот его рассуждениях, где именно ошибка? Какие команды посчитаны дважды, как или почему это произошло, и сколько их?
Автор: Megatron 19.6.2023, 14:00
Назовем девочек Маша, Алена и Кристина. Если выбрать Машу и добавлять к ней троих, мы насчитаем 165 команд. Это верно. Если выбрать Алену и добавлять троих, мы также насчитаем 165. Но вот проблема: команды, в которых есть Маша и Алена одновременно, мы посчитаем дважды.
Сколько лишних команд и почему так? На этот вопрос отвечает вывод формулы включений-исключений.
Автор: alek.zander 19.6.2023, 16:53
А поделитесь выводом, если не жалко.
А то простые способы у меня получаются, аж две штуки, а вот такой заковыристый как-то не осилить.
Автор: Kurush 19.6.2023, 17:31
А то простые способы у меня получаются, аж две штуки, а вот такой заковыристый как-то не осилить.
Я же Вам написал решение через него. Нарисуйте три круга - Маша, Алёна, Кристина - таким образом, чтобы они пересекались каждый с каждым, а также имели общее пересечение. Ваш учитель взял сумму трёх кругов. При этом по два раза посчитал пересечения МА, АК, МК и три раза пересечение МАК. Поэтому мы вычитаем все пересечения из двух элементов. При этом мы избавились от повторов в командах с двумя девочками, но не учли команды с тремя девочками. Их нужно добавить. Итого: 3 * C(11, 3) - 3 * С(10, 2) + 9 = 369
Автор: mumbaII 22.6.2023, 11:25
учителя можно попросить тем же способом решить задачу, когда мальчиков и девочек по 2, всего 4 человека. у него получится 2 команды, хотя, очевидно, что С(4,4)=1. То есть из 4 человек можно составить только 1 команду. Если он начнет вилять, то тогда пусть найдет решение для 2 девочек, 2 мальчиков и команды по 2 человека. Его способ даст 6; хотя, очевидно, что правильный ответ будет 5.