Mодератор UNDEFEAT

Найдите площадь оранжевого треугольника в параллелограмме.

Оккупант рисует на плоскости несколько точек так, чтоб никакие три не лежали на одной прямой. Мегамозгу разрешено провести прямую ровно через одну из них.

Прямую начинают вращать против часовой стрелки вокруг этой точки, пока она не заденет другую точку, после чего уже эта точка становится новым центром вращения. Процесс продолжается бесконечно.

Мегамозга оставят в живых, если в этом процессе каждая из точек будет центром вращения бесконечное число раз. Всегда ли он сможет спастись?

Между двумя деревьями свисает гибкая лиана. Её концы закреплены на уровне 50м, а самая низкая её точка находится на уровне 10м. Каково расстояние между её концами, если её длина равна 80м?

На бесконечной в обе стороны белой полоске размеченной в клеточку находятся два робота. Ровно одна из клеток на полоске - чёрная, и она находится между роботами.

Вам необходимо одинаково запрограммировать обоих роботов так, чтоб они встретились.

Программа состоит из нескольких строк, каждая из которых содержит ровно одну команду. Допустимые команды:

1) ML - сделать шаг на клетку влево и перейти к следующей строке программы;

2) MR - сделать шаг на клетку вправо и перейти к следующей строке программы;

3) IF FLAG - проверить, находимся ли мы на чёрной клетке. Если да, перейти к следующей строке программы, иначе, перейти к послеследующей строке программы;

4) GOTO N - перейти к N-й строке программы;

На выполнение каждой из команд, кроме GOTO у робота уходит 1 секунда. GOTO выполняется мгновенно.

На кулинарном конкурсе один из судей после дегустации каждого нового блюда записывал, какая доля блюд из уже опробованных ему понравилась. Хотя первое блюдо судье не понравилось, в конечном итоге больше 2/3 блюд пришлось ему по вкусу. Верно ли, что среди его записей есть число «2/3»?

Внутри равностороннего треугольника выбрана такая точка, что углы между отрезками, проведенными из этой точки к вершинам, равны α, β и γ. Найдите углы треугольника, составленного из этих отрезков.

В пробирке живут бактерии общей массой 2ⁿ. Масса каждой бактерии - целое число. Когда встречаются две бактерии, меньшая удваивает свою массу, отбирая ее у подруги. Если встретились бактерии одинаковой массы — одна из них исчезает, а вторая удваивается. Докажите, что, независимо от значения n, изначального количества и масс бактерий, существует последовательность превращений, в результате которой в пробирке останется всего одна бактерия.

В часах Мегамозга две шестеренки соединены необычным образом: большая закреплена неподвижно, а малая вращается вокруг большой. У большой шестерёнки 56 зубьев, а у малой — 20, шаг зубьев одинаковый. Мегамозг запустил часы. Сколько полных оборотов вокруг своей оси сделает малая шестерёнка к моменту, когда она снова вернётся в исходное положение, при котором шестерёнки будут сцеплены теми же зубьями, что и в начале?

На плоскости нарисовано несколько отрезков, самый большой из которых имеет длину 1. Всегда ли, перемещая отрезки параллельным переносом, можно собрать их в одну ломаную, расстояние между концами которой меньше, чем 1,5?

В листе бумаги вырезали квадратное отверстие со стороной 11 мм. Можно ли сквозь него просунуть плоскую монету диаметром 20 мм?

Белые начинают и не ставят мат в один ход.

На рисунке показан один из способов разрезания фигуры на две части, совпадающие при параллельном переносе/повороте/отражении. Найдите ещё два способа это сделать.

От середин сторон квадрата к некоторой его внутренней точке проведены четыре отрезка, разбивающие квадрат на четыре части площадью 2, 3, 4 и S. Найдите S - площадь самой большой части.

Какое минимальное количество кругов радиусом 1 нужно, чтобы полностью покрыть круг радиусом 2?

Имеется кусок картона в форме буквы Е. Разрежьте его на наименьшее число частей, из которых можно сложить квадрат. Обоснование минимальности не требуется.

Любопытный минимозг, увлекшись темой масс и объемов тел, как-то раз экспериментировал с водой, налитой в тонкостенную конусообразную посуду, и обнаружил интересный эффект потери массы. С одной стороны, масса воды равна ρ∙V. С другой — ее легко выразить через силу давления столба жидкости на дно, и в этом случае получается значение 3∙ρ∙V/(1 + μ + μ²), где μ² = s/S — отношение сечения посудины у кромки воды и площади дна.

Выкладки, представленные минимозгом на конференции, вызвали бурные дискуссии. Одни минимозги объясняли это явление принципом неопределенности Гейзенберга, другие — волновой природой мысли, третьи — наличием темной материи во Вселенной. Минимозги так и не смогли прийти к единому мнению. А как объясните данное явление вы?

Почему струя воды из-под крана книзу становится всё тоньше?

Один Мегамозг бросил игральный кубик 2011 раз, а другой Мегамозг — 2012. Какова вероятность того, что нечетные числа у второго выпали больше раз, чем у первого?